试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B为圆心，4为半径画弧，已知圆E分别与两条弧相切，与AD相切于F，求圆E的半径．
答案
青果学院解：设⊙E的半径为R；
由于⊙A与⊙E内切，所以AE=4-R；
由于⊙A与⊙B外切，所以BE=4+R；
易知AG=EF=R，BG=AB-AG=4-R；
在Rt△AGE中，EG2=（4-R）2-R2，
在Rt△BGE中，EG2=（4+R）2-（4-R）2，
所以：（4-R）2-R2=（4+R）2-（4-R）2，解得R=
2
3
；
即⊙E的半径为
2
3
．
青果学院解：设⊙E的半径为R；
由于⊙A与⊙E内切，所以AE=4-R；
由于⊙A与⊙B外切，所以BE=4+R；
易知AG=EF=R，BG=AB-AG=4-R；
在Rt△AGE中，EG2=（4-R）2-R2，
在Rt△BGE中，EG2=（4+R）2-（4-R）2，
所以：（4-R）2-R2=（4+R）2-（4-R）2，解得R=
2
3
；
即⊙E的半径为
2
3
．
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；正方形的性质．
由第②个图可看出，在Rt△AGE中，由于⊙A、⊙E内切，因此AE为两圆的半径差，易知AG即为⊙E的半径，利用勾股定理可表示出EG2的值；同理，在Rt△ABC中，由于⊙B、⊙E外切，BE为两圆的半径和，而BG为两圆的半径差，利用勾股定理可表示出EG2的值，联立两式即可求得⊙E的半径．
此题主要考查了相切两圆的性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，难度适中．
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