试题

如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO，B点的坐标为（12，6），点C、A在坐标轴上．⊙A、⊙P的半径均为1，点P从点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度向左运动，运动到点O处停止．与此同时，⊙A的半径每秒钟增大2个单位，当点P停止运动时，⊙A的半径也停止变化．设点P运动的时间为t秒．
（1）在0＜t＜12时，设△OAP的面积为s，试求s与t的函数关系式．并求出当t为何值时，s为矩形ABCO面积的

1

3

；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，⊙A与⊙P相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵B点的坐标为（12，6），
∴OA=6，OC=12，
∴OP=12-t；
当0＜t＜12时，s=

1

2

OA×OP=

1

2

×6×（12-t）=-3t+36，
∵s=

1

3

S_矩形ABCO，
∴-3t+36=

1

3

×12×6，
解得：t=4，
即当t=4时，S为矩形ABCO面积的

1

3

．

（2）如图，当⊙A与⊙P外切时

OP=12-t，AP=1+2t+1=2t+2；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t+2）²，
解得：t1=-

44

3

（不合题意，舍去），t₂=4；
此时，P点坐标为（8，0），
如图，当⊙A与⊙P内切时，

OP=12-t，AP=1+2t-1=2t；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t）²，
解得：t1=2

19

-4，t₂=-2

19

-4（不合题意，舍去），
此时，P点坐标为（16-2

19

，0）．
解：（1）∵B点的坐标为（12，6），
∴OA=6，OC=12，
∴OP=12-t；
当0＜t＜12时，s=

1

2

OA×OP=

1

2

×6×（12-t）=-3t+36，
∵s=

1

3

S_矩形ABCO，
∴-3t+36=

1

3

×12×6，
解得：t=4，
即当t=4时，S为矩形ABCO面积的

1

3

．

（2）如图，当⊙A与⊙P外切时

OP=12-t，AP=1+2t+1=2t+2；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t+2）²，
解得：t1=-

44

3

（不合题意，舍去），t₂=4；
此时，P点坐标为（8，0），
如图，当⊙A与⊙P内切时，

OP=12-t，AP=1+2t-1=2t；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t）²，
解得：t1=2

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-4，t₂=-2

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-4（不合题意，舍去），
此时，P点坐标为（16-2

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，0）．