试题

（2008·徐汇区二模）如图所示，⊙O的半径OA=1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙M与⊙O内切于点B，过点A作CD⊥OA交⊙M于C、D，连接CM、OC，OC交⊙O于E．
（1）若设OM=x，S_△OMC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，当x=4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系；
（3）将⊙O绕着点E旋转180°得到⊙P，如果⊙P与⊙M内切，求x的值．

解：（1）∵⊙M与⊙O内切于点B，
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根据勾股定理，得AC=

(x+1)2-(x-1)2

=2

x

，
则

1

2

x·2

x

=y，
即y=x

x

（x＞1）；

（2）当x=4时，则CM=5，AM=3，AC=4．

根据题意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM=

4

5

，
在直角三角形MNH中，则NH=2×

4

5

=

8

5

＞1，
则⊙N与直线CM的位置关系是相离；

（3）连接ME．
根据题意，设MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
则ME⊥OP．
∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME=

OM2-OE2

，
在Rt△OAC中，AC=

OC2-OA2

，
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2

x

．
根据勾股定理，得4x+1=x²，
解，得x=2±

5

，
又x＞1，
∴x=2+

5

．
解：（1）∵⊙M与⊙O内切于点B，
∴CM=x+1．
又∵AM=x-1．
∴在直角三角形AMC中，根据勾股定理，得AC=

(x+1)2-(x-1)2

=2

x

，
则

1

2

x·2

x

=y，
即y=x

x

（x＞1）；

（2）当x=4时，则CM=5，AM=3，AC=4．

根据题意，得MN=3-1=2．
在直角三角形AMC中，sinM=

4

5

，
在直角三角形MNH中，则NH=2×

4

5

=

8

5

＞1，
则⊙N与直线CM的位置关系是相离；

（3）连接ME．
根据题意，设MP=OM=OC=x，OE=PE=1，
则ME⊥OP．
∵OE=OA，
∴在Rt△OME中，ME=

OM2-OE2

，
在Rt△OAC中，AC=

OC2-OA2

，
∵OM=OC，OE=OA，
∴ME=AC=2

x

．
根据勾股定理，得4x+1=x²，
解，得x=2±

5

，
又x＞1，
∴x=2+

5

．