试题

题目：
（2010·奉贤区一模）已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
（2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=
5
3
时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．
青果学院
答案
解：（1）取BC的中点G，连接AG．（1分）
∵圆A与圆G圆外切，
∴AG=AE+1．（1分）
正方形ABCD中，AB=2，设AE=x．青果学院
∵在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，（1分）
∴22+12=(x+1)2x=±
5
-1（负数舍去）．（1分）
∴以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，AE的长为
5
-1．

（2）过点D作DH⊥PE于H，连接DF．（1分）
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；青果学院
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．（1分）
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；（1分）
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴（2-x）2+（2-y）2=（x+y）2，
整理得到：y=
4-2x
x+2
(0＜x＜2)；（2分）
青果学院
（3）∵EF=
5
3
，
∴x+y=
5
3
，
∴
5
3
-x=
4-2x
x+2
，
解得：x1=1，x2=
2
3
．（1分）
当x1=1时，BE=1，BF=
2
3
；
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处，
∴BB'⊥EF，设垂足为Q．
∴BQ=
2
5
，BB'=
4
5
．
∵E、Q分别为AB、BB'的中点，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B与△BEF中，
BB′
AB
=
4
5
2
=
2
5
，
BF
EF
=
2
3
5
3
=
2
5
，
∴
BB′
AB
=
BF
EF
，
∴△AB'B∽△BEF；（3分）
（用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF，也按步骤分步得分）
当x2=
2
3
时，BE=
4
3
，BF=1．
∵
BE
AE
=
4
3
2
3
=2，
BQ
B′Q
=1，
EQ与AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B与△BEF不相似．（1分）
综上所述，当EF=
5
3
，AE=1时，△AB'B∽△BEF；
当EF=
5
3
，AE=
2
3
时，△AB'B与△BEF不相似．
解：（1）取BC的中点G，连接AG．（1分）
∵圆A与圆G圆外切，
∴AG=AE+1．（1分）
正方形ABCD中，AB=2，设AE=x．青果学院
∵在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，（1分）
∴22+12=(x+1)2x=±
5
-1（负数舍去）．（1分）
∴以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，AE的长为
5
-1．

（2）过点D作DH⊥PE于H，连接DF．（1分）
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；青果学院
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．（1分）
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；（1分）
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴（2-x）2+（2-y）2=（x+y）2，
整理得到：y=
4-2x
x+2
(0＜x＜2)；（2分）
青果学院
（3）∵EF=
5
3
，
∴x+y=
5
3
，
∴
5
3
-x=
4-2x
x+2
，
解得：x1=1，x2=
2
3
．（1分）
当x1=1时，BE=1，BF=
2
3
；
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处，
∴BB'⊥EF，设垂足为Q．
∴BQ=
2
5
，BB'=
4
5
．
∵E、Q分别为AB、BB'的中点，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B与△BEF中，
BB′
AB
=
4
5
2
=
2
5
，
BF
EF
=
2
3
5
3
=
2
5
，
∴
BB′
AB
=
BF
EF
，
∴△AB'B∽△BEF；（3分）
（用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF，也按步骤分步得分）
当x2=
2
3
时，BE=
4
3
，BF=1．
∵
BE
AE
=
4
3
2
3
=2，
BQ
B′Q
=1，
EQ与AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B与△BEF不相似．（1分）
综上所述，当EF=
5
3
，AE=1时，△AB'B∽△BEF；
当EF=
5
3
，AE=
2
3
时，△AB'B与△BEF不相似．
考点梳理
相似三角形的判定；直角三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相切两圆的性质．
（1）两圆外切，则圆心距等于两圆的半径和；设BC的中点为G，那么AG的长应该是AE+
1
2
BC，进而可在Rt△ABG中，由勾股定理求得AE的长．
（2）若要x、y发生联系，需将它们构建到同一个直角三角形中；连接DF，过D作DH⊥PE于H；通过证△DAE≌△DHE得到AE=EH=x，通过证△DHF≌△DCF得到CF=FH=y，进而可在Rt△EFB中，根据勾股定理求得x、y的函数关系式；
（3）由（2）知：当EF=
5
3
时，x+y=
5
3
，联立（2）的函数关系式可求得此时x的值，进而可求出AE、BF的长；根据折叠的性质知：EF垂直平分BB′，设垂足为Q；在Rt△BEF中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求得BQ的长，也就得出了BB′的长；然后再判断两个直角三角形的对应边是否成比例即可．
此题考查了正方形的性质、相切两圆的位置关系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性质等知识的应用能力，综合性强，难度较大．
综合题；函数思想．
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