试题

题目：
（2011·鞍山二模）如图，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=2
3
．动点P从A点出发沿AD方向运动，速度为每秒3个单位，终点是点D；动点Q从C点出发沿CB方向运动，速度为每秒1个单位，终点是青果学院点B． 若P、Q两点同时出发，出发时间为t秒，点P、点Q中有一点停止运动，另一点也随之而停止运动．分别以P、Q为圆心，PA、QC为半径作⊙P和⊙Q．
（1）填空：AD的长为
6
6
；
（2）当⊙P与直线BD相切时，
①用直尺和圆规在图①中作出⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
②求出此时t的值．
（3）求t为何值时，⊙P与⊙Q相切？
答案
6

解：（1）∵∠ADB=30°，AB=2
3
．
∴AD=AB÷tan30°=2
3
÷
3
3
=6；

（2）①作图正确
②由①作图可知∠PBD=∠ADB=30°，AP=3t，则PB=PD=6-3t
在Rt△PAB中AB2+AP2=PB2
根据题意得(2
3
)2+(3t)2=(6-3t)2
解得t=
2
3
；
青果学院

（3）如图②⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC垂足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t
则得(4t)2=(2
3
)2+(6-4t)2
解得t=1；
如图③⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，青果学院
NQ=CQ-CN=t-（6-3t）=4t-6
则得(2t)2=(2
3
)2+(4t-6)2
解得t=2．（11分）
综合所得，当t=1或2时⊙P与⊙Q相切．
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；矩形的性质；切线的性质．
（1）在直角三角形ADB中，利用30°的正切值即可求得AD的长；
（2）由作图可知∠PBD=∠ADB=30°，表示出AP=3t，则PB=PD=6-3t然后在Rt△PAB中利用AB2+AP2=PB2得(2
3
)2+(3t)2=(6-3t)2，求得t值即可；
（3）当⊙P与⊙Q外切时，过点P作PM⊥BC足为M，PQ=3t+t=4t，MQ=6-4t，利用勾股定理求得t值，当⊙P与⊙Q内切时，过点P作PN⊥BC垂足为N，PQ=3t-t=2t，
NQ=CQ-CN=t-（6-3t），利用勾股定理求得t值即可．
本题考查了相切两圆的性质及勾股定理等知识，是一道综合性很强的题目．
几何综合题．
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