试题

题目：
青果学院如图，△ABC是直角边长为2a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是（　　）



答案
D
青果学院解：连接O1O2设O2的半径为x．
∵O1O22-AO12=AO22，
∴（a+x）2-a 2=（2a-x）2，
解得：x=
2
3
a．
设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．
∴CE=PE=
2
x=
2
2
a
3
a，BC=
2
AB，CD=
2
2
AB=
2
a，
∴S阴影=S△ADC-S△CEP=
1
2
CD·AD-
1
2
CE·PE=
1
2
×
2
a·
2
a-
1
2
×
2
2
3
a·
2
2
3
a=
5
9
a2．
故选D．
考点梳理
相切两圆的性质；等腰直角三角形．
利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．
本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的面积是关键．
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