试题

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以1个单位/秒的速度从A向C运动，点Q以2个单位/秒的速度同时沿A→B→C方向运动，⊙P和⊙Q的半径都为1．求：
（1）求圆心距PQ的最大值；
（2）设运动时间为t，求两圆相切时t的值；
（3）当t为何值时，两圆相离．

解：（1）由题意可知，当点Q与点B重合时，两圆的圆心距PQ最大，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙Q运动了10÷2=5秒，
∴PC=8-5=3，
∴PQ=

62+32

=3

5

；

（2）分两种情况：
①如图1，作QD⊥AC，此时，AP=t，AQ=2t，PQ=2，
∴△AQD∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QD

BC

，即

2t

10

=

QD

6

，得QD=

6

5

t，
∴

(2t)2-( 6 5 t)2

-t=

22-( 6 5 t)2

，
解得，t=

2

3

5

；
②如图2，此时，AP=t，PQ=2，
∴PC=8-t，QC=16-2t，
∴QC²+PC²=PQ²，
即（16-2t）²+（8-t）²=2²，
解得，t=8+

2

5

5

（舍去），t=8-

2

5

5

；
综上，当t=

2

3

5

或t=8-

2

5

5

时，两圆相切；

（3）由（2）可得，
当

2

3

5

＜t＜8-

2

5

5

时，两圆相离．
解：（1）由题意可知，当点Q与点B重合时，两圆的圆心距PQ最大，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙Q运动了10÷2=5秒，
∴PC=8-5=3，
∴PQ=

62+32

=3

5

；

（2）分两种情况：
①如图1，作QD⊥AC，此时，AP=t，AQ=2t，PQ=2，
∴△AQD∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QD

BC

，即

2t

10

=

QD

6

，得QD=

6

5

t，
∴

(2t)2-( 6 5 t)2

-t=

22-( 6 5 t)2

，
解得，t=

2

3

5

；
②如图2，此时，AP=t，PQ=2，
∴PC=8-t，QC=16-2t，
∴QC²+PC²=PQ²，
即（16-2t）²+（8-t）²=2²，
解得，t=8+

2

5

5

（舍去），t=8-

2

5

5

；
综上，当t=

2

3

5

或t=8-

2

5

5

时，两圆相切；

（3）由（2）可得，
当

2

3

5

＜t＜8-

2

5

5

时，两圆相离．