试题

（2007·青浦区二模）如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5．
（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果PC=PD，求PB的长；
（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．

解：（1）∵PC是圆A的切线，
∴∠ACP=90°（1分）
在Rt△ACP中，AC²+CP²=AP²，
∴4+y²=（5-x）²，
∴y=

x2-10x+21

（1＜x＜3）；（4分）

（2）∵PC=PD，
∴

x2-10x+21

=

x2-1

，
∴x=

11

5

（符合要求）
∴PB的长为

11

5

；（3分）

（3）∵PC=2PD，
∴

PC

PD

=

AC

BD

=2，∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴∠APC=∠BPD，（3分）
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，
∵∠APC=∠BPH，
∴∠BPD=∠BPH，
又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
∴BD=BH，（2分）
∴直线CP与圆B相切．（1分）
解：（1）∵PC是圆A的切线，
∴∠ACP=90°（1分）
在Rt△ACP中，AC²+CP²=AP²，
∴4+y²=（5-x）²，
∴y=

x2-10x+21

（1＜x＜3）；（4分）

（2）∵PC=PD，
∴

x2-10x+21

=

x2-1

，
∴x=

11

5

（符合要求）
∴PB的长为

11

5

；（3分）

（3）∵PC=2PD，
∴

PC

PD

=

AC

BD

=2，∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴∠APC=∠BPD，（3分）
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，
∵∠APC=∠BPH，
∴∠BPD=∠BPH，
又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
∴BD=BH，（2分）
∴直线CP与圆B相切．（1分）