试题

题目：
（2001·宁波）⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，切点为A，B，C，它们的半径分别为r1，r2，r3．
（1）若△O1O2O3是直角三角形，r2：r3=2：3，用r2表示r1；
（2）若△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似，则r1，r2，r3必须满足什么条件？请给出证明．此时若r1，r2，r3的和为3cm，用如图这样一张四边形纸片DEFG，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O1、⊙O2、⊙O3这3个圆？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，给出这样的圆形纸片的一种剪法（在四边形纸片DEFG上面图表示）
青果学院
答案
解：
（1）圆心距分别为r1+r2，r1+r3，r2+r3，r2：r3=2：3，有r3=1.5r2，r1＞r3时，
（r1+r2）2=（r1+r3）2+（r2+r3）2，
解得r1=-7.5r2（不合题意，舍去），
r1≤r3时，（r1+r3）2=（r1+r2）2+（r2+r3）2，
解得r1=5r2；

（2）r1=r2=r3时，△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O1、⊙O2、⊙O3这3个圆．
解：
（1）圆心距分别为r1+r2，r1+r3，r2+r3，r2：r3=2：3，有r3=1.5r2，r1＞r3时，
（r1+r2）2=（r1+r3）2+（r2+r3）2，
解得r1=-7.5r2（不合题意，舍去），
r1≤r3时，（r1+r3）2=（r1+r2）2+（r2+r3）2，
解得r1=5r2；

（2）r1=r2=r3时，△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似，能否剪出一个圆形纸片来完全盖住两两外切的⊙O1、⊙O2、⊙O3这3个圆．
考点梳理
作图—应用与设计作图；圆与圆的位置关系．
（1）因为△O1O2O3是直角三角形，根据⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，得出三边的长度，结合斜边的情况，利用勾股定理用r2表示r1；
（2）r1=r2=r3时，△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似．
本题考查了三圆两两外切的函数问题，同时考查了勾股定理，及三角函数的知识．
压轴题．
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