试题

（2002·绍兴）如图，⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H（AH＜HB），⊙O′分别切⊙O，AB，CD于点E，F，G．
（1）已知CH=2

2

，求cosA的值；
（2）当AF·FB=AF+FB时，求EF的长；
（3）设BC=m，⊙O′的半径为n，用含m的代数式表示n．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵CD⊥AB，
∴CH²=AH·HB=AH（AB-AH）．
∴(2

2

)2=AH（6-AH），
AH²-6AH+8=0，
∴AH=2或AH=4（不合题意，应舍去）．
∴CA²=AH·AB=2×6=12，
∴CA=2

3

．
∴cosA=

2

2 3

=

3

3

．

（2）∵AF·FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，
∴AF=3-

3

，FB=3+

3

．
连接O’F，O’G，OE，
∵⊙O′分别切AB，CD于F，G，切⊙O于E．
∴O，O′，E三点共线．
∴∠O′FH=∠O′GH=90°．
又CD⊥AB，O′F=O′G，
∴四边形FHGO’正方形．
设⊙O′的半径为r，
在Rt△OO’F中，
OO′²-O′F²=FO²=（BF-OB）²，（3-r）²-r²=（3+

3

-3）²，
∴r=1．
从而OO’=2．
∴∠FOO’=30°，∠FO’O=60°．
∵O′E=O′F，
∴∠E=

1

2

∠FO′O=30°．
∴∠E=∠FOO′．
∴EF=FO=

3

．

（3）由射影定理，得
BC²=BH·BA=6（BF-FH）=6（BF-n）．①
∵O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-n）²-n²=（BF-3）²，9-6n=BF²-6BF+9，BF²=6（BF-n）②
由①②得BF²=BC²，
∴BF=BC．
∴BC²=6（BC-n），
∴m²=6（m-n），
即n=-

1

6

m²+m．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵CD⊥AB，
∴CH²=AH·HB=AH（AB-AH）．
∴(2

2

)2=AH（6-AH），
AH²-6AH+8=0，
∴AH=2或AH=4（不合题意，应舍去）．
∴CA²=AH·AB=2×6=12，
∴CA=2

3

．
∴cosA=

2

2 3

=

3

3

．

（2）∵AF·FB=AF+FB，AF+FB=AB=6，AF＜FB，
∴AF=3-

3

，FB=3+

3

．
连接O’F，O’G，OE，
∵⊙O′分别切AB，CD于F，G，切⊙O于E．
∴O，O′，E三点共线．
∴∠O′FH=∠O′GH=90°．
又CD⊥AB，O′F=O′G，
∴四边形FHGO’正方形．
设⊙O′的半径为r，
在Rt△OO’F中，
OO′²-O′F²=FO²=（BF-OB）²，（3-r）²-r²=（3+

3

-3）²，
∴r=1．
从而OO’=2．
∴∠FOO’=30°，∠FO’O=60°．
∵O′E=O′F，
∴∠E=

1

2

∠FO′O=30°．
∴∠E=∠FOO′．
∴EF=FO=

3

．

（3）由射影定理，得
BC²=BH·BA=6（BF-FH）=6（BF-n）．①
∵O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-n）²-n²=（BF-3）²，9-6n=BF²-6BF+9，BF²=6（BF-n）②
由①②得BF²=BC²，
∴BF=BC．
∴BC²=6（BC-n），
∴m²=6（m-n），
即n=-

1

6

m²+m．