试题

（2011·乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=

1

2

AB=3米，∴S=

1

2

·QC·PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴

QE

QC

=

AB

AC

，
解得：QE=

3t

5

，
∴S=

1

2

·PC·QE=

1

2

·（10-2t）·

3t

5

=-

3

5

t2+3t（0＜t≤5）

（2）当t=

10

3

秒（此时PC=QC），

25

9

秒（此时PQ=QC），或

80

21

秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=

10

3

秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=

10-2t

2

，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故

CE

BC

=

QC

AC

，即

10-2t 2

8

=

t

10

，解得t=

25

9

秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=

t

2

，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故

CE

BC

=

PC

AC

，即

t 2

8

=

10-2t

10

，解得t=

80

21

秒．

（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴

PF

AB

=

PC

AC

=

FC

BC

，即

PF

6

=

10-2t

10

=

FC

8

∴PF=6-

6t

5

，FC=8-

8t

5

则在直角△PFQ中，PQ²=PF²+FQ²=（6-

6t

5

）²+（8-

8t

5

-t）²=

41

5

t²-56t+100
如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ²=

41

5

t²-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0
解得：t₁=15

6

-35，t₂=-15

6

-35＜0（舍去）
故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15

6

-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，
∵PQ²=PF²+FQ²，
∴PQ²=

41

5

t²-56t+100=t²
整理得：9t²-70t+125=0，解得：t₁=

25

9

，t₂=5
故当⊙P与⊙Q内切时，t=

25

9

秒或5秒．
解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t
（1）①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米
∴PD=

1

2

AB=3米，∴S=

1

2

·QC·PD=3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC∽Rt△ABC，
∴

QE

QC

=

AB

AC

，
解得：QE=

3t

5

，
∴S=

1

2

·PC·QE=

1

2

·（10-2t）·

3t

5

=-

3

5

t2+3t（0＜t≤5）

（2）当t=

10

3

秒（此时PC=QC），

25

9

秒（此时PQ=QC），或

80

21

秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；
∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，
∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=

10

3

秒；
当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=

10-2t

2

，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故

CE

BC

=

QC

AC

，即

10-2t 2

8

=

t

10

，解得t=

25

9

秒；
当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=

t

2

，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故

CE

BC

=

PC

AC

，即

t 2

8

=

10-2t

10

，解得t=

80

21

秒．

（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴

PF

AB

=

PC

AC

=

FC

BC

，即

PF

6

=

10-2t

10

=

FC

8

∴PF=6-

6t

5

，FC=8-

8t

5

则在直角△PFQ中，PQ²=PF²+FQ²=（6-

6t

5

）²+（8-

8t

5

-t）²=

41

5

t²-56t+100
如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ²=

41

5

t²-56t+100=9t²，
整理得：t²+70t-125=0
解得：t₁=15

6

-35，t₂=-15

6

-35＜0（舍去）
故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15

6

-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时，
∵PQ²=PF²+FQ²，
∴PQ²=

41

5

t²-56t+100=t²
整理得：9t²-70t+125=0，解得：t₁=

25

9

，t₂=5
故当⊙P与⊙Q内切时，t=

25

9

秒或5秒．