试题

题目：
将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是
7
9
7
9
．
答案
7
9

解：如图，青果学院设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，
则SA=AB=R，OA=r，
∴2πr=
1
3
·2πR，
∴r=
1
3
R，
作BH⊥SA，连结SO，
在Rt△SOB中，OS=
SB2-OB2
=
2
2
3
R，
∵
1
2
BH·SA=
1
2
AB·SO，
∴BH=
2
3
R·
2
2
3
R
R
=
4
2
9
R，
在Rt△BHS中，SH=
SB2-BH2
=
7
9
R，
∴cos∠BSH=
SH
SB
=
7
9
．
∴锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值为
7
9
．

故答案为
7
9
．
考点梳理
圆锥的计算．
设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，SA=AB=R，OA=r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得2πr=
1
3
·2πR，
则r=
1
3
R，作BH⊥SA，连结SO，在Rt△SOB中，根据勾股定理计算出OS=
2
2
3
R，再利用面积法得到BH=
4
2
9
R，在Rt△BHS中，根据勾故定理得到SH=
7
9
R，
然后根据余弦的定义得cos∠BSH=
SH
SB
=
7
9
．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理和锐角三角函数．
计算题．
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