试题

题目：
青果学院如图，已知在⊙O中，AB=8
3
，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
答案
解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，
∵AB=8
3
，
∴BF=4
3
，
∴OB=
BF
cos30°
=8，
∴S阴影=S扇形=
120π·82
360
=
64
3
π．

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴2πr=
120
180
π·4·2πr=
120
180
π·8
∴r=
8
3
．
解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，
∵AB=8
3
，
∴BF=4
3
，
∴OB=
BF
cos30°
=8，
∴S阴影=S扇形=
120π·82
360
=
64
3
π．

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴2πr=
120
180
π·4·2πr=
120
180
π·8
∴r=
8
3
．
考点梳理
圆锥的计算；扇形面积的计算．
（1）由∠A=30°，可求得∠BOC=60°，再根据垂径定理得∠BOD=120°，由勾股定理得出BF以及OB的长，从而计算出阴影部分的面积即扇形的面积．
（2）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．
本题考查了扇形面积的计算，以及圆周角定理、垂径定理和勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
综合题．
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