试题

如图，将一次函数y=

3

4

x的图象上一点A（a，b），沿竖直方向向上移动6个单位，得到点B，再沿水平方向向右移动8个单位，得到点C．以AC为直径作圆E，设垂直于y轴的直线DT与圆E相切于点D．
（1）求证：点C在一次函数y=

3

4

x的图象上；
（2）求三角形ADC的面积；
（3）当点D在x轴上时，求点A的坐标．

（1）证明：由题意知，点C的坐标为（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=

3

4

x得，
y=

3

4

（a+8）=

3

4

a+6，
由于点A（a，b）在直线y=

3

4

x上，
则b=

3

4

a，所以y=b+6，
故点C在一次函数y=

3

4

x的图象上．

（2）解：不妨设直线DT与⊙E切于点E下方时，如图所示，
过点D作DH⊥AC于H，连接ED，
∵BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ABC=90°．
∵直线DT是⊙E的切线，
∴DT⊥DE，而DT∥x轴，或与x轴重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10，
∴DE=

1

2

AC=5，
∴

HD

BC

=

ED

AC

，
∴DH=

ED·BC

AC

=

5×8

10

=4，
∴S_△ADC=

1

2

×10×4=20（平方单位）．

（3）解：如图，
当点E位于x轴上方时，延长AB交x轴于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴

AF

ED

=

OF

OD

，
设OF=x，则AF=

3

4

x，OD=x+4，
∴

3x 4

5

=

x

x+4

，
解得，x=

8

3

，
∴y=

3

4

x=

3

4

×

8

3

=2，
∴点A的坐标为（

8

3

，2），
同理可得，当点E位于x轴下方时（如下图所示），由对称性可求点A的坐标为（-

32

3

，-8）．
综上所述，点A的坐标为A₁（

8

3

，2）、A₂（-

32

3

，-8）．
（1）证明：由题意知，点C的坐标为（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=

3

4

x得，
y=

3

4

（a+8）=

3

4

a+6，
由于点A（a，b）在直线y=

3

4

x上，
则b=

3

4

a，所以y=b+6，
故点C在一次函数y=

3

4

x的图象上．

（2）解：不妨设直线DT与⊙E切于点E下方时，如图所示，
过点D作DH⊥AC于H，连接ED，
∵BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ABC=90°．
∵直线DT是⊙E的切线，
∴DT⊥DE，而DT∥x轴，或与x轴重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10，
∴DE=

1

2

AC=5，
∴

HD

BC

=

ED

AC

，
∴DH=

ED·BC

AC

=

5×8

10

=4，
∴S_△ADC=

1

2

×10×4=20（平方单位）．

（3）解：如图，
当点E位于x轴上方时，延长AB交x轴于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴

AF

ED

=

OF

OD

，
设OF=x，则AF=

3

4

x，OD=x+4，
∴

3x 4

5

=

x

x+4

，
解得，x=

8

3

，
∴y=

3

4

x=

3

4

×

8

3

=2，
∴点A的坐标为（

8

3

，2），
同理可得，当点E位于x轴下方时（如下图所示），由对称性可求点A的坐标为（-

32

3

，-8）．
综上所述，点A的坐标为A₁（

8

3

，2）、A₂（-

32

3

，-8）．