试题

已知平面区域上，坐标x，y满足|x|+|y|≤1
（1）画出满足条件的区域L₀，并求出面积S；
（2）对区域L₀作一个内切圆M₁，然后在M₁内作一个内接与此圆与L₀相同形状的图形L₁，在L₁内继续作圆M₂，…经过无数次后，求所有圆的面积的和．
（提示公式：(1)a+(a+d)+(a+2d)+…(a+nd)=

(a+(a+nd))*n

2

；(2)a+aq+aq2+…+aqn=

a-aqn*q

1-q

）

解：（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L₀是正方形，
S=

1

2

×AC×BD=

1

2

×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M₁的半径为：1×sin45°=

2

2

，
∴内切圆M₁的面积是：π（

2

2

）²=

1

2

π，
同理可得：⊙M₂的半径为：

2

2

×sin45°=（

2

2

）²，
∴内切圆M₂的面积是：π[（

2

2

）²]²=

1

2

π×

1

2

=π（

1

2

）²，
⊙M₃的半径为：（

2

2

）²×sin45°=（

2

2

）³，
内切圆M₃的面积是：π[（

2

2

）³]²=

1

2

π×（

1

2

）²=π（

1

2

）³，
…
以此类推，经过n次后，⊙M_n的面积为π（

1

2

）ⁿ，
∴所有圆的面积的和=

1

2

π+π（

1

2

）²+π（

1

2

）³+…+π（

1

2

）ⁿ=

1 2 π[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=π[1-（

1

2

）ⁿ]．
故答案为：（1）2，（2）π[1-（

1

2

）ⁿ]．
解：（1）如图，|x|+|y|≤1可化为，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四边形ABCD就是满足条件的区域L₀是正方形，
S=

1

2

×AC×BD=

1

2

×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如图，∵A0=1，
∴⊙M₁的半径为：1×sin45°=

2

2

，
∴内切圆M₁的面积是：π（

2

2

）²=

1

2

π，
同理可得：⊙M₂的半径为：

2

2

×sin45°=（

2

2

）²，
∴内切圆M₂的面积是：π[（

2

2

）²]²=

1

2

π×

1

2

=π（

1

2

）²，
⊙M₃的半径为：（

2

2

）²×sin45°=（

2

2

）³，
内切圆M₃的面积是：π[（

2

2

）³]²=

1

2

π×（

1

2

）²=π（

1

2

）³，
…
以此类推，经过n次后，⊙M_n的面积为π（

1

2

）ⁿ，
∴所有圆的面积的和=

1

2

π+π（

1

2

）²+π（

1

2

）³+…+π（

1

2

）ⁿ=

1 2 π[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=π[1-（

1

2

）ⁿ]．
故答案为：（1）2，（2）π[1-（

1

2

）ⁿ]．