试题

已知定点F（0，-2），动点P（x，y）到F点的距离与它到x轴的距离相等．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）若（1）中的函数图象与过F点的直线y=kx+b交于A、B两点，
ⅰ请用k表示线段AB的长；
ⅱ以AB为弦的圆与y轴交于M（0，-4+2

3

）、N（0，-4-2

3

）两点，求此时直线y=kx+b的解析式．

解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF=PH．
∴

x2+(y+2)2

=|y|
∴y=-

1

4

x²-1；（5分）

（2）ⅰ设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（这里y₁＜0，y₂＜0）
∵直线过F（0，-2）
∴直线为y=kx-2
由

y=kx-2 y=- 1 4 x2-1

得y²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0（6分）
A、B在抛物线上，由已知条件知：AB=AF+FB
∴AB=|y₁|+|y₂|=-（y₁+y₂）=4（k²+1）（10分）
ⅱ由相交弦定理
AF·FB=FM·FN（11分）
又∵AF·FB=|y₁y₂|
∴4（k²+1）=8（12分）
∴k=±1
即直线方程为y=±x-2．（13分）
解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF=PH．
∴

x2+(y+2)2

=|y|
∴y=-

1

4

x²-1；（5分）

（2）ⅰ设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（这里y₁＜0，y₂＜0）
∵直线过F（0，-2）
∴直线为y=kx-2
由

y=kx-2 y=- 1 4 x2-1

得y²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0（6分）
A、B在抛物线上，由已知条件知：AB=AF+FB
∴AB=|y₁|+|y₂|=-（y₁+y₂）=4（k²+1）（10分）
ⅱ由相交弦定理
AF·FB=FM·FN（11分）
又∵AF·FB=|y₁y₂|
∴4（k²+1）=8（12分）
∴k=±1
即直线方程为y=±x-2．（13分）