试题

如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，且点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），点P在线段CB上，距离轴3个单位，有一直线y=kx+b（k≠0）经过点P，且把矩形OABC分成两部分．
（1）若直线又经过x轴上一点D，且把矩形OABC分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若直线又经过矩形边上一点Q，且把矩形OABC分成的两部分的面积比为3：29，求点Q坐标．

解：（1）设D（x，0），依题意得：
S_矩=4×2=8，P（3，2），
S_{四边形COAP}=

1

2

×8=4，
S_{四边形COAP}=

1

2

（x+3）×2=4，
∴x=1．
∴D（1，0）

0=k+b 2=3k+b

，
解得

k=1 b=-1

．

（2）S_△PQ1B=

3

32

×8=

3

4

，
设Q₁（4，y），
S_△PQ1B=

1

2

×1×（2-y₁）=

3

4

，
∴y₁=

1

2

，
∴Q₁（4，

1

2

）．
设Q₂（0，y₂），
∴S_△CQ2P=

1

2

×3×（2-y₂）=

3

4

∴y₂=

3

2

，
∴Q₂（0，

3

2

）
∴Q（4，

1

2

）或（0，

3

2

）．
解：（1）设D（x，0），依题意得：
S_矩=4×2=8，P（3，2），
S_{四边形COAP}=

1

2

×8=4，
S_{四边形COAP}=

1

2

（x+3）×2=4，
∴x=1．
∴D（1，0）

0=k+b 2=3k+b

，
解得

k=1 b=-1

．

（2）S_△PQ1B=

3

32

×8=

3

4

，
设Q₁（4，y），
S_△PQ1B=

1

2

×1×（2-y₁）=

3

4

，
∴y₁=

1

2

，
∴Q₁（4，

1

2

）．
设Q₂（0，y₂），
∴S_△CQ2P=

1

2

×3×（2-y₂）=

3

4

∴y₂=

3

2

，
∴Q₂（0，

3

2

）
∴Q（4，

1

2

）或（0，

3

2

）．