试题

如图，直线AB分别与x轴、y轴相交于点A和点B，如果A（2，0），B（0，4）线段CD两端点在坐标轴上滑动（C点在y轴上，D点在x轴上），且CD=AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当C点在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，直接写出C、D两点的坐标；
（3）是否存在经过第一、二、三象限的直线CD，使CD⊥AB？如果存在，请求出直线CD的解析式；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设直线解析式为：y=kx+b，把点A（2，0），B（0，4）代入，解得：k=-2，b=4，
故函数解析式为：y=-2x+4

（2）由题意，得A（2，0），B（0，4），
即AO=2，OB=4．
①当线段CD在第一象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（4，0）．
②当线段CD在第二象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（-2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（-4，0）．
③当线段CD在第三象限时，
点C（0，-4），D（-2，0）或C（0，-2），D（-4，0）．
④当线段CD在第四象限时，
点C（0，-4），D（2，0）或C（0，-2），D（4，0）．

（3）C（0，2），D（-4，0）．
直线CD的解析式为y=

1

2

x+2．
所以存在经过第一、二、三象限的直线CD，使CD⊥AB．
解：（1）设直线解析式为：y=kx+b，把点A（2，0），B（0，4）代入，解得：k=-2，b=4，
故函数解析式为：y=-2x+4

（2）由题意，得A（2，0），B（0，4），
即AO=2，OB=4．
①当线段CD在第一象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（4，0）．
②当线段CD在第二象限时，
点C（0，4）（不合题意舍去），D（-2，0）或C（0，2）（不合题意舍去），D（-4，0）．
③当线段CD在第三象限时，
点C（0，-4），D（-2，0）或C（0，-2），D（-4，0）．
④当线段CD在第四象限时，
点C（0，-4），D（2，0）或C（0，-2），D（4，0）．

（3）C（0，2），D（-4，0）．
直线CD的解析式为y=

1

2

x+2．
所以存在经过第一、二、三象限的直线CD，使CD⊥AB．