试题

题目：
青果学院（2012·房山区二模）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，点D在直线AB上．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB绕点A逆时针旋转30°，求旋转后的直线解析式．
答案
解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵点A（2，0），点D（1，
3
），
∴
2k+b=0
k+b=
3
，
解得：
k=-
3
b=2
3
，
∴直线AB的解析式为：y=-
3
x+2
3
；

青果学院（2）∵直线AB的解析式为：y=-
3
x+2
3
；
∴点B的坐标为（0，2
3
），
∴OA=2，OB=2
3
，
∴在Rt△AOB中，tan∠BAO=
OB
OA
=
3
，
∴∠BAO=60°，
当直线AB绕点A逆时针旋转30°交y轴于点C，
∴∠CAO=∠BAO-30°=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA·tan30°=2×
3
3
=
2
3
3
，
∴点C的坐标为（0，
2
3
3
），
设所得直线为y=mx+
2
3
3
，
∵A（2，0），
∴0=2m+
2
3
3
，
解得：m=-
3
3
；
∴旋转后的直线解析式为：y=-
3
3
x+
2
3
3
．
解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵点A（2，0），点D（1，
3
），
∴
2k+b=0
k+b=
3
，
解得：
k=-
3
b=2
3
，
∴直线AB的解析式为：y=-
3
x+2
3
；

青果学院（2）∵直线AB的解析式为：y=-
3
x+2
3
；
∴点B的坐标为（0，2
3
），
∴OA=2，OB=2
3
，
∴在Rt△AOB中，tan∠BAO=
OB
OA
=
3
，
∴∠BAO=60°，
当直线AB绕点A逆时针旋转30°交y轴于点C，
∴∠CAO=∠BAO-30°=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA·tan30°=2×
3
3
=
2
3
3
，
∴点C的坐标为（0，
2
3
3
），
设所得直线为y=mx+
2
3
3
，
∵A（2，0），
∴0=2m+
2
3
3
，
解得：m=-
3
3
；
∴旋转后的直线解析式为：y=-
3
3
x+
2
3
3
．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）首先设直线AB的解析式为：y=kx+b，由点A（2，0），点D（1，
3
），利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由（1）可求得点B的坐标，∠BAO的度数，又由直线AB绕点A逆时针旋转30°得到直线AC，即可求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得旋转后的直线解析式．
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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