试题

如图，y=-

3

4

x+3的图象与y轴、x轴相交于A、B，点C（m，n）在第二象限，⊙C与直线AB和x轴相切于E、F．
（1）当四边形OACF是矩形时，求C点坐标；
（2）当⊙C与y轴相切于D时，求⊙C的半径；
（3）当C在y=-

4

x

图象上时，求△CAB的面积．

解：（1）如图1，当x=0时，y=3；当y=0时，x=4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接CF，
当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C与直线AB相切于点F，
∴CF⊥AB于点F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴点C的坐标为（-5，3）；

（2）如图2，连接CE、CF、CD，
∵⊙C与x轴、y轴、AB分别相切于E、D、F，
∴由切线长定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，
∴AE=

1

2

（AB+OA+OB）=6，
由切线性质定理得，CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D
∴四边形CEOD为矩形，
又∵CE=CD，
∴矩形CEOD为正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE=AE-OA=6-4=2，
∴⊙C的半径为2；

（3）如图1，延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，
∵⊙C与x轴相切于点E，
∴GE⊥AE于点E，
∴EG∥y轴，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴

CF

OA

=

CG

AB

，
∴CG=

5

4

n，
又∵GE=CG=

5

4

n+n=

9

4

n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG=

GE

AE

=

9 4 n

4-m

，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

，
∴

9 4 n

4-m

=

3

4

，
∴m=4-3n，①
∵C在y=-

4

x

图象上时，
∴mn=-4②
有①②可得：m₁=-2，m₂=6（舍），
∴S_△ABC=

1

2

×AB×CF=

1

2

×5×2=5，
∴△CAB的面积是5平方单位．
解：（1）如图1，当x=0时，y=3；当y=0时，x=4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
连接CF，
当四边形OBCE为矩形时，有CF=CE=OB=3，CB∥x轴，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C与直线AB相切于点F，
∴CF⊥AB于点F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴点C的坐标为（-5，3）；

（2）如图2，连接CE、CF、CD，
∵⊙C与x轴、y轴、AB分别相切于E、D、F，
∴由切线长定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，
∴AE=

1

2

（AB+OA+OB）=6，
由切线性质定理得，CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D
∴四边形CEOD为矩形，
又∵CE=CD，
∴矩形CEOD为正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE=AE-OA=6-4=2，
∴⊙C的半径为2；

（3）如图1，延长EC交AB于G，连接CF，则CF=CE=n，
∵⊙C与x轴相切于点E，
∴GE⊥AE于点E，
∴EG∥y轴，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴

CF

OA

=

CG

AB

，
∴CG=

5

4

n，
又∵GE=CG=

5

4

n+n=

9

4

n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG=

GE

AE

=

9 4 n

4-m

，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

，
∴

9 4 n

4-m

=

3

4

，
∴m=4-3n，①
∵C在y=-

4

x

图象上时，
∴mn=-4②
有①②可得：m₁=-2，m₂=6（舍），
∴S_△ABC=

1

2

×AB×CF=

1

2

×5×2=5，
∴△CAB的面积是5平方单位．