试题

（2013·江西模拟）如图1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为（4，0），直线y=-

1

4

x+3经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB∥OC．
（1）求顶点B的坐标；
（2）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O′为点O关于直线l的对称点，连接CO′，并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD=5时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

解：（1）∵A（4，0），AB∥OC，设点B的坐标为（4，y）
把x=4代入y=-

1

4

x+3中，得：y=2，
∴B（4，2）；

（2）过C点作CN⊥AB于N，∵AB∥OC，∴∠OCM=∠DMC，
由题意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵y=-

1

4

x+3，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴NM=2，
∴AM=1
∴M（4，1），
设l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入
得：

3=b 1=4k+b

，解得

k=- 1 2 b=3

，
∴l的解析式为：y=-

1

2

x+3，

（3）∵AD=6，BC为一边，∴D（4，6），
∴OD的解析式为y=

3

2

x，
过P作y轴垂线交直线AD于点U，过点Q作x轴平行线分别与y轴交于点V，与y轴的平行线交x轴于N，
设P（x，-

1

2

x+3），
∵∠OCQ=∠ABP，∠CVQ=∠PUB=90°，且CQ=PB，
∴△CVQ≌△BUP，则PU=QV=x-4，
∴Q（x-4，4-

1

2

x）代入y=

3

2

x中，得：x=5，
∴P₁（5，

1

2

），
备用如图2，同理P₂（-2，4），
当BC为对角线时，设P（a，-

1

2

a+3）、Q（b，

3

2

b）

a+b=4 - 1 2 a+3+ 3 2 b=5

，
解得：

a=2 b=2

，
∴p₃（2，2）．
解：（1）∵A（4，0），AB∥OC，设点B的坐标为（4，y）
把x=4代入y=-

1

4

x+3中，得：y=2，
∴B（4，2）；

（2）过C点作CN⊥AB于N，∵AB∥OC，∴∠OCM=∠DMC，
由题意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵y=-

1

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x+3，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴NM=2，
∴AM=1
∴M（4，1），
设l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入
得：

3=b 1=4k+b

，解得

k=- 1 2 b=3

，
∴l的解析式为：y=-

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2

x+3，

（3）∵AD=6，BC为一边，∴D（4，6），
∴OD的解析式为y=

3

2

x，
过P作y轴垂线交直线AD于点U，过点Q作x轴平行线分别与y轴交于点V，与y轴的平行线交x轴于N，
设P（x，-

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2

x+3），
∵∠OCQ=∠ABP，∠CVQ=∠PUB=90°，且CQ=PB，
∴△CVQ≌△BUP，则PU=QV=x-4，
∴Q（x-4，4-

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x）代入y=

3

2

x中，得：x=5，
∴P₁（5，

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2

），
备用如图2，同理P₂（-2，4），
当BC为对角线时，设P（a，-

1

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a+3）、Q（b，

3

2

b）

a+b=4 - 1 2 a+3+ 3 2 b=5

，
解得：

a=2 b=2

，
∴p₃（2，2）．