试题

（2013·连云港模拟）如图，平面直角坐标系中，直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒

3

5

个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥AO于点F，连接DE、EF
（1）当t为何值时，△BDE与△BAO相似；
（2）写出以点D、F、E、O为顶点的四边形面积s与运动时间t之间的函数关系；
（3）是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形？如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于点B、点A，
∴OB=6，OA=8，
则AD=t，BE=

3

5

t，BD=10-t，
∵△BDE与△BAO具有公共角∠ABO．
∴当

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

时两三角形相似．
即

10-t

6

=

3 5 t

10

或

10-t

10

=

3 5 t

6

，
解得t=5或

250

34

，
∴当t为5或

250

34

时，△BDE与△BAO相似．

（2）①当点D在线段AB上时，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF=

3

5

t，AF=

4

5

t，
∴BE=DF，∴四边形DFEB为平行四边形，S_△DEF=S_△BEF=

1

2

S_DFEB，
∴四边形OFDE的面积等于△BOF的面积，
∴s=

1

2

BO·OF=

1

2

×6×（8-

4

5

t）=24-

12

5

t（0＜t≤10）．
②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，
s=

1

2

（OE+DF）·OF=

1

2

×（

3

5

t-6+

3

5

t）×

4

5

（t-10）=

12

25

t²-

36

5

t+24（t＞10）；

（3）①当点D在线段AB上时，已知四边形DFEB为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即10-t=

3

5

，
解得t=

25

4

．
②当点D在AB的延长线上时，易证四边形BEFD为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即t-10

3

5

t，
解得t=25．
综上所述，当t的值为

25

4

或25时，以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形．
解：（1）∵直线y=-

4

3

x+8分别交x轴、y轴于点B、点A，
∴OB=6，OA=8，
则AD=t，BE=

3

5

t，BD=10-t，
∵△BDE与△BAO具有公共角∠ABO．
∴当

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

时两三角形相似．
即

10-t

6

=

3 5 t

10

或

10-t

10

=

3 5 t

6

，
解得t=5或

250

34

，
∴当t为5或

250

34

时，△BDE与△BAO相似．

（2）①当点D在线段AB上时，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF=

3

5

t，AF=

4

5

t，
∴BE=DF，∴四边形DFEB为平行四边形，S_△DEF=S_△BEF=

1

2

S_DFEB，
∴四边形OFDE的面积等于△BOF的面积，
∴s=

1

2

BO·OF=

1

2

×6×（8-

4

5

t）=24-

12

5

t（0＜t≤10）．
②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形，
s=

1

2

（OE+DF）·OF=

1

2

×（

3

5

t-6+

3

5

t）×

4

5

（t-10）=

12

25

t²-

36

5

t+24（t＞10）；

（3）①当点D在线段AB上时，已知四边形DFEB为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即10-t=

3

5

，
解得t=

25

4

．
②当点D在AB的延长线上时，易证四边形BEFD为平行四边形，只需保证BD=BE，
即可保证四边形DFEB是菱形，
即t-10

3

5

t，
解得t=25．
综上所述，当t的值为

25

4

或25时，以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形．