试题

（2013·南岗区一模）如图1，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，矩形AOCB的对角线OB所在的直线的解析式为y=

1

2

x，且0B=4

5

．
（1）求B点坐标．
（2）如图2，点M是OC中点，动点D在线段OM上运动（不与0、M两点重合），点E在边AB上，且AD=DE，点F在射线DE上，且AF=AD，设∠FAE=m°，∠OAD=n°，求出m与n之间的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，若∠DFB=90°，求n的值．

解：（1）设点B的横坐标为x，
∵点B在直线y=

1

2

x上，
∴点B的纵坐标为

1

2

x，
在Rt△OBC中，OB²=OC²+BC²，
∴（4

5

）²=x²+（

1

2

x）²，
解得x=8，

1

2

x=

1

2

×8=4，
所以，点B的坐标为（4，8）；

（2）如图2，过点D作DH⊥AB于H，则∠DHB=∠OAB=90°，
∴OA∥DH，
∴∠ADH=∠OAD=n°，
根据等腰三角形三线合一的性质，∠ADE=2∠ADH=2n°，
∵AD=AF，
∴∠F=∠ADE=2n°，
又∵∠DAF=∠DAH+∠FAE=90°-n°+m°，
∴在△ADF中，2n°+2n°+90°-n°+m°=180°，
整理得，m=-3n+90，
由-3n+90＞0得，n＜30，
∴m=-3n+90（0＜n＜30）；

（3）如图3，延长BF交y轴于T，过点A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，
∵∠DFB=90°，
∴∠ABT+∠BEF=90°，
又∵∠DAE=∠DEA=∠BEF=∠ATB，
∴∠ADH+∠BEF=90°，
∴∠ABT=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BAT=90°，
∴△ABT∽△HDA，
∴

AT

AH

=

AB

DH

=

8

4

=2，
∴AT=2AH，
根据三角形三线合一的性质，AE=2AH，
∴AT=AE，
∵在△ATG和△AEK中，

∠ATB=∠DEA ∠AGT=∠AKE=90° AT=AE

，
∴△ATG≌△AEK（AAS），
∴AG=AK，
∴AF为∠TFD的平分线，
∴∠AFD=∠ADF=

1

2

×90°=45°，
2n=45°，
解得n=22.5°．
解：（1）设点B的横坐标为x，
∵点B在直线y=

1

2

x上，
∴点B的纵坐标为

1

2

x，
在Rt△OBC中，OB²=OC²+BC²，
∴（4

5

）²=x²+（

1

2

x）²，
解得x=8，

1

2

x=

1

2

×8=4，
所以，点B的坐标为（4，8）；

（2）如图2，过点D作DH⊥AB于H，则∠DHB=∠OAB=90°，
∴OA∥DH，
∴∠ADH=∠OAD=n°，
根据等腰三角形三线合一的性质，∠ADE=2∠ADH=2n°，
∵AD=AF，
∴∠F=∠ADE=2n°，
又∵∠DAF=∠DAH+∠FAE=90°-n°+m°，
∴在△ADF中，2n°+2n°+90°-n°+m°=180°，
整理得，m=-3n+90，
由-3n+90＞0得，n＜30，
∴m=-3n+90（0＜n＜30）；

（3）如图3，延长BF交y轴于T，过点A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，
∵∠DFB=90°，
∴∠ABT+∠BEF=90°，
又∵∠DAE=∠DEA=∠BEF=∠ATB，
∴∠ADH+∠BEF=90°，
∴∠ABT=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BAT=90°，
∴△ABT∽△HDA，
∴

AT

AH

=

AB

DH

=

8

4

=2，
∴AT=2AH，
根据三角形三线合一的性质，AE=2AH，
∴AT=AE，
∵在△ATG和△AEK中，

∠ATB=∠DEA ∠AGT=∠AKE=90° AT=AE

，
∴△ATG≌△AEK（AAS），
∴AG=AK，
∴AF为∠TFD的平分线，
∴∠AFD=∠ADF=

1

2

×90°=45°，
2n=45°，
解得n=22.5°．