试题

在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长是2

3

，且OB边落在x轴的正半轴上，点A落在第一象限、将△OAB折叠，使点A落在x轴上，设点C是点A落在x轴上的对应点，
（1）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果点A恰好落在点C（0，0），求b的值；
（2）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；并写出当b=

1

2

时，点C的坐标；

（3）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在直线与△OAB的位置分为如图1、图2、图3三种情形，请你分别写出每种情形时b的取值范围（将答案直接填写在每种情形下的横线上）．

解：（1）根据等边三角形的三线合一的性质，则此时直线过点B．
设直线和y轴的交点是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2

3

，
则OM=2，即b=2．

（2）易知：A（

3

，3），已知C（m，0），则AC的中点为（

m+ 3

2

，

3

2

）；
依题意有：

m+ 3 2 k+b= 3 2 3 3 -m =- 1 k

；
消去k，得：m²+6b-12=0，即b=2-

1

6

m²．
当b=

1

2

时，2-

1

6

m²=

1

2

，解得m=±3；
故：C₁（3，0），C₂（-3，0）．（5分）

（3）图①：0≤b≤2，图②：0≤b≤2，图③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m²，m²+6b-12=0；
若C点在x轴上，则方程m²+6b-12=0必有实数解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
图①中，显然b≥0，那么b的取值范围是：0≤b≤2；
图②中，显然b≥0，同图①可得：0≤b≤2；
图③中，显然b≤0，由于m的值最大可取4

3

，那么：
12-6b²≤（4

3

）²，即b≥-6，
因此-6≤b≤0．
解：（1）根据等边三角形的三线合一的性质，则此时直线过点B．
设直线和y轴的交点是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2

3

，
则OM=2，即b=2．

（2）易知：A（

3

，3），已知C（m，0），则AC的中点为（

m+ 3

2

，

3

2

）；
依题意有：

m+ 3 2 k+b= 3 2 3 3 -m =- 1 k

；
消去k，得：m²+6b-12=0，即b=2-

1

6

m²．
当b=

1

2

时，2-

1

6

m²=

1

2

，解得m=±3；
故：C₁（3，0），C₂（-3，0）．（5分）

（3）图①：0≤b≤2，图②：0≤b≤2，图③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m²，m²+6b-12=0；
若C点在x轴上，则方程m²+6b-12=0必有实数解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
图①中，显然b≥0，那么b的取值范围是：0≤b≤2；
图②中，显然b≥0，同图①可得：0≤b≤2；
图③中，显然b≤0，由于m的值最大可取4

3

，那么：
12-6b²≤（4

3

）²，即b≥-6，
因此-6≤b≤0．