试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线a与x轴的正半轴的夹角为α，且sinα=
3
5
，A（0，4），动点P、Q分别从A、O点同时出发，点P的运动速度是每分钟1个单位，终点是O，点Q的运动速度是每分钟2个单位，沿x轴的正方向运动，当点P到达终点O时，点Q也停止运动，设运动时间为t分钟．
（1）求直线a的解析式；
（2）当t为多少分钟时，PQ⊥a；
（3）过P作PM∥x轴交直线a于M．①设△MQO的面积为S，试写出S与t之间的函数关系，并求出当s=3时，t的值；②在P、Q运动过程中，你能猜想△MOQ为等腰三角形有多少种情况？并选择两种你认为简单的情况求出t的值．
答案
解：（1）∵sinα=
3
5
，
∴tanα=
3
4
，
∴直线a的解析式为：y=
3
4
x；

（2）∵直线a⊥PQ，PO⊥OQ，
∴∠OPQ+∠OQP=90°，∠OQP+α=90°，
∴∠OPQ=α，
根据题意得：OQ=2t，OP=4-t，
∴tanα=
2t
4-t
=
3
4
，
解得：t=
12
11
，
∴当t为
12
11
分钟时，PQ⊥a；

（3）①∵OP=4-t，OQ=2t，
∴S=
1
2
·2t（4-t）=-t2+4t（0＜t＜4），
当S=3时，即-t2+4t=3，
青果学院解得：t=3或t=1；

②有三种情况．
过M作MN⊥x轴于N，则MN=OP=4-t，
当OM=QM时，ON=NQ=t，
∴tanα=
3
4
=
4-t
t
，
∴t=
16
7
；
当OM=OQ，OM=2t，
∴sinα=
MN
OM
=
4-t
2t
=
3
5
，
解得：t=
20
11
；
当OQ=MQ时，MQ=OQ=2t，
∵ON=
MN
tanα
=
16-4t
3
，
QN=2t-
16-4t
3
，
∵QM2=QN2+MN2，
∴（2t）2=（2t-
16-4t
3
）2+（4-t）2，
解得：t=
100
73
．
∴△MOQ为等腰三角形有3种情况，分别为t=
16
7
或t=
20
11
或t=
100
73
．
解：（1）∵sinα=
3
5
，
∴tanα=
3
4
，
∴直线a的解析式为：y=
3
4
x；

（2）∵直线a⊥PQ，PO⊥OQ，
∴∠OPQ+∠OQP=90°，∠OQP+α=90°，
∴∠OPQ=α，
根据题意得：OQ=2t，OP=4-t，
∴tanα=
2t
4-t
=
3
4
，
解得：t=
12
11
，
∴当t为
12
11
分钟时，PQ⊥a；

（3）①∵OP=4-t，OQ=2t，
∴S=
1
2
·2t（4-t）=-t2+4t（0＜t＜4），
当S=3时，即-t2+4t=3，
青果学院解得：t=3或t=1；

②有三种情况．
过M作MN⊥x轴于N，则MN=OP=4-t，
当OM=QM时，ON=NQ=t，
∴tanα=
3
4
=
4-t
t
，
∴t=
16
7
；
当OM=OQ，OM=2t，
∴sinα=
MN
OM
=
4-t
2t
=
3
5
，
解得：t=
20
11
；
当OQ=MQ时，MQ=OQ=2t，
∵ON=
MN
tanα
=
16-4t
3
，
QN=2t-
16-4t
3
，
∵QM2=QN2+MN2，
∴（2t）2=（2t-
16-4t
3
）2+（4-t）2，
解得：t=
100
73
．
∴△MOQ为等腰三角形有3种情况，分别为t=
16
7
或t=
20
11
或t=
100
73
．
考点梳理
一次函数综合题．
（1）由sinα=
3
5
，即可得tanα=
3
4
，则可求得直线a的解析式；
（2）由直线a⊥PQ，PO⊥OQ，可求得∠OPQ=α，又由题意可得OQ=2t，OP=4-t，则可得方程tanα=
2t
4-t
=
3
4
，解此方程即可求得答案；
（3）①由OP=4-t，OQ=2t，即可得S=
1
2
·2t（4-t）=-t2+4t，又由S=3，得方程-t2+4t=3，解此方程即可求得t的值；
②首先过M作MN⊥x轴于N，则MN=OP=4-t，然后分别从OM=QM，OM=OQ，OQ=QM去分析求解即可求得答案．
此题属于一次函数的综合应用，考查了待定系数求函数解析式、三角形的面积问题、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
压轴题．
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