如图直线y=-frac{1}{2}x+2分别交x轴、y轴于点A和B，点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，作QH⊥x轴于点H．（1）求tan...-青果题库-青果学院

题目：

如图直线y=-

1

2

x+2分别交x轴、y轴于点A和B，点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，作QH⊥x轴于点H．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）当QH=2时，求P的坐标；
（3）连接OQ，是否存在t的值，使△OQH与△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

2

4

=

1

2

；

（2）根据勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB=

4

2

5

=

2

5

，
cos∠QPH=sin∠OAB=

2

5

=

5

，
∵QH⊥x轴，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷

2

5

=

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PM=

1

2

PQ=

5

2

，
∴AP=PM÷sin∠OAB=

5

2

÷

5

=

5

2

，
①当点P在点A的左边时，OP=OA-AP=4-

5

2

=

3

2

，
此时，点P的坐标是（

3

2

，0），
②当点P在点A的右边时，OP=OA+AP=4+

5

2

=

13

2

，
此时，点P的坐标是（

13

2

，0）；
故，点P的坐标为（

3

2

，0）或（

13

2

，0）；

（3）①当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP·sin∠OAB=

5

（4-t），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2

5

（4-t），
QH=PQ·sin∠QPH=

2

5

（4-t）×

2

5

=

16-4t

5

，
PH=PQ·cos∠QPH=

2

5

（4-t）×

5

=

8-2t

5

，
当点P在点O右侧时，OH=OP+PH=t+

8-2t

5

=

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

8+3t

5

16-4t

5

=

1

2

或

16-4t

5

8+3t

5

=

1

2

，
解得t=0或t=

24

11

；
当点P在点O左侧时，OH=OP-PH=（-t）-

8-2t

5

=-

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

-

8+3t

5

16-4t

5

=

1

2

或

16-4t

5

-

8+3t

5

=

1

2

，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP·sin∠OAB=

5

（t-4），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2

5

（t-4），
QH=PQ·sin∠QPH=

2

5

（t-4）×

2

5

=

4t-16

5

，
PH=PQ·cos∠QPH=

2

5

（t-4）×

5

=

2t-8

5

，
∴OH=OP-PH=t-

2t-8

5

=

3t+8

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

3t+8

5

4t-16

5

=

1

2

或

4t-16

5

3t+8

5

=

1

2

，
解得t=-16（舍去）或t=8，
综上所述，存在t的值，t=0或t=

24

11

或t=-16或t=8，使△OQH与△APM相似．
解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

2

4

=

1

2

；

（2）根据勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB=

4

2

5

=

2

5

，
cos∠QPH=sin∠OAB=

2

5

=

5

，
∵QH⊥x轴，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷

2

5

=

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PM=

1

2

PQ=

5

2

，
∴AP=PM÷sin∠OAB=

5

2

÷

5

=

5

2

，
①当点P在点A的左边时，OP=OA-AP=4-

5

2

=

3

2

，
此时，点P的坐标是（

3

2

，0），
②当点P在点A的右边时，OP=OA+AP=4+

5

2

=

13

2

，
此时，点P的坐标是（

13

2

，0）；
故，点P的坐标为（

3

2

，0）或（

13

2

，0）；

（3）①当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP·sin∠OAB=

5

（4-t），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2

5

（4-t），
QH=PQ·sin∠QPH=

2

5

（4-t）×

2

5

=

16-4t

5

，
PH=PQ·cos∠QPH=

2

5

（4-t）×

5

=

8-2t

5

，
当点P在点O右侧时，OH=OP+PH=t+

8-2t

5

=

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

8+3t

5

16-4t

5

=

1

2

或

16-4t

5

8+3t

5

=

1

2

，
解得t=0或t=

24

11

；
当点P在点O左侧时，OH=OP-PH=（-t）-

8-2t

5

=-

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

-

8+3t

5

16-4t

5

=

1

2

或

16-4t

5

-

8+3t

5

=

1

2

，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP·sin∠OAB=

5

（t-4），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2

5

（t-4），
QH=PQ·sin∠QPH=

2

5

（t-4）×

2

5

=

4t-16

5

，
PH=PQ·cos∠QPH=

2

5

（t-4）×

5

=

2t-8

5

，
∴OH=OP-PH=t-

2t-8

5

=

3t+8

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

3t+8

5

4t-16

5

=

1

2

或

4t-16

5

3t+8

5

=

1

2

，
解得t=-16（舍去）或t=8，
综上所述，存在t的值，t=0或t=

24

11

或t=-16或t=8，使△OQH与△APM相似．

考点梳理

一次函数综合题．

试题