试题

（2006·黄石）已知一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数y=-

k

x

的图象有唯一的公共点．
（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；
（2）证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标．

解：（1）∴方程kx+b=-

k

x

有唯一实根，
∴△=O，即b²-4k²=0，
又k＞0，b＞0，∴b=2k．
∵k＞0，∴当k=

1

2

时，b的最小正整数为1．
此时函数表达式分别为y=

x

2

+1，y=-

1

2x

．

（2）将b=2k代入y=kx+b得y=k（x+2），
当x=-2时，y=0．直线过定点（-2，0）．
无论k取何正实数直线总过定点（-2，0）．
解：（1）∴方程kx+b=-

k

x

有唯一实根，
∴△=O，即b²-4k²=0，
又k＞0，b＞0，∴b=2k．
∵k＞0，∴当k=

1

2

时，b的最小正整数为1．
此时函数表达式分别为y=

x

2

+1，y=-

1

2x

．

（2）将b=2k代入y=kx+b得y=k（x+2），
当x=-2时，y=0．直线过定点（-2，0）．
无论k取何正实数直线总过定点（-2，0）．