试题

题目：
青果学院（2006·梅州）如图，直线l的解析式为y=
4
3
x+4，l与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求原点O到直线l的距离；
（2）有一个半径为1的⊙C从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）．当⊙C与直线l相切时，求t的值．
答案
解：（1）在y=
4
3
x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB=
AO2+BO2
=5（2分）
设点O到直线AB的距离为h，
∵S△AOB=
1
2
AO·BO=
1
2
AB·h
∴h=
AO·BO
AB
=2.4；（4分）
青果学院
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，（5分）
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴
BC
AB
=
CD
AO

由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴
BC
5
=
1
3

∴BC=
5
3

∴OC=4-
5
3
=
7
3

∴t=CO=
7
3
（秒）（8分）
根据对称性得BC'=BC=
5
3

∴OC'=4+
5
3
=
17
3

∴t=OC′=
17
3
（秒）（9分）
∴当⊙C与直线l相切时，t=
7
3
秒或
17
3
秒．（10分）
解：（1）在y=
4
3
x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB=
AO2+BO2
=5（2分）
设点O到直线AB的距离为h，
∵S△AOB=
1
2
AO·BO=
1
2
AB·h
∴h=
AO·BO
AB
=2.4；（4分）
青果学院
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，（5分）
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴
BC
AB
=
CD
AO

由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴
BC
5
=
1
3

∴BC=
5
3

∴OC=4-
5
3
=
7
3

∴t=CO=
7
3
（秒）（8分）
根据对称性得BC'=BC=
5
3

∴OC'=4+
5
3
=
17
3

∴t=OC′=
17
3
（秒）（9分）
∴当⊙C与直线l相切时，t=
7
3
秒或
17
3
秒．（10分）
考点梳理
一次函数综合题．
（1）设点O到直线AB的距离为h，在y=
4
3
x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，有三角形的面积公式可求出O到直线AB的距离为h=2.4；
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，由于AO⊥BO，∠ABO=∠CBD，所以∠BDC=∠BOA=90°，△ABO∽△CBD，故
BC
AB
=
CD
AO
，由（1）得AO=3，BO=4，AB=5，故
BC
5
=
1
3
，BC=
5
3
，OC=4-
5
3
=
7
3
，t=CO=
7
3
（秒），根据对称性得BC'=BC=
5
3
，OC'=4+
5
3
=
17
3
，∴t=OC′=
17
3
（秒）．故当⊙C与直线l相切时，t=
7
3
秒或
17
3
秒．
此题把一次函数与圆的知识相结合，增加了难度，在解答此题时要注意直线与圆相切的两种情况，不要漏解．
压轴题；动点型．
找相似题