试题

（2007·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x²-4x+3=0的两根（OB＜OC）．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平面内有M（1，-2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．

解：（1）x²-4x+3=0，得x=3或1，
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）存在．
Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)；

（3）过A作AH⊥x轴于H点．
则AH=CH=6，∴∠ACB=45°，
同理可证：∠DCM=45°，
∴∠ACB=∠DCM．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

（1分）
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，
同理MC=2

2

，（1分）
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．  （1分）
设AD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

-3k+b=6 5 3 k+b=0

，
∴

k=- 9 7 b= 15 7

，
∴y=-

9

7

x+

15

7

．
解：（1）x²-4x+3=0，得x=3或1，
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）存在．
Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)；

（3）过A作AH⊥x轴于H点．
则AH=CH=6，∴∠ACB=45°，
同理可证：∠DCM=45°，
∴∠ACB=∠DCM．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

（1分）
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，
同理MC=2

2

，（1分）
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．  （1分）
设AD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

-3k+b=6 5 3 k+b=0

，
∴

k=- 9 7 b= 15 7

，
∴y=-

9

7

x+

15

7

．