试题

（2009·邵阳）如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S₁；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S₂；
①当2＜t≤4时，试探究S₂与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S₂为△OAB的面积的

5

16

？

解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，

OM

ON

=

OA

OB

=1，
∴OM=ON=t，
∴S₁=

1

2

OM·ON=

1

2

t²；
（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=

22+22

=2

2

，
直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4

2

，则

1

2

×4

2

h=4×4×

1

2

，
解得h=2

2

，
故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足

x=t y=-t+4

，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=

1

2

t²-

1

2

PE·PF=

1

2

t²-

1

2

（2t-4）（2t-4）=-

3

2

t²+8t-8；
②当0＜t≤2时，S₂=

1

2

t²，

1

2

t²=

5

16

×

1

2

×4×4=

5

2

，
解得t₁=-

5

＜0，t₂=

5

＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4时，S₂=-

3

2

t²+8t-8=

5

2

，
解得t₃=3，t₄=

7

3

，
综上得，当t=

7

3

或t=3时，S₂为△OAB的面积的

5

16

．
解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，

OM

ON

=

OA

OB

=1，
∴OM=ON=t，
∴S₁=

1

2

OM·ON=

1

2

t²；
（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=

22+22

=2

2

，
直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4

2

，则

1

2

×4

2

h=4×4×

1

2

，
解得h=2

2

，
故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足

x=t y=-t+4

，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=

1

2

t²-

1

2

PE·PF=

1

2

t²-

1

2

（2t-4）（2t-4）=-

3

2

t²+8t-8；
②当0＜t≤2时，S₂=

1

2

t²，

1

2

t²=

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×

1

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×4×4=

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2

，
解得t₁=-

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＜0，t₂=

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＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4时，S₂=-

3

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t²+8t-8=

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，
解得t₃=3，t₄=

7

3

，
综上得，当t=

7

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或t=3时，S₂为△OAB的面积的

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