试题

（2009·遵义）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O（0，0），A（2

3

，0），B（2

3

，2），把矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA₁B₁C₁．
（1）求角α的度数；
（2）求直线A₁B₁的函数关系式，并判断直线A₁B₁是否经过点B，为什么？

解：（1）∵A（2

3

，0），B（2

3

，2），
∴A₁B₁=AB=2，OA=OA₁=2

3

，
∴tan∠A₁OB₁=A₁B₁：OA₁=2：2

3

=1：

3

，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A₁B₁O中，B₁O=

OA12+A1B12

=4，
∴B₁的坐标为（0，4），
如图过A₁作A₁E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A₁E=3，OE=

3

，
∴A（

3

，3），
设直线A₁B₁的解析式为y=kx+b，
依题意得

4=b 3= 3 k+b

，
∴k=-

3

3

，b=4，
∴y=-

3

3

x+4．
而B（2

3

，2），
代入解析式中，左边=2，右边=-

3

3

×2

3

+4=2；
左边=右边，
∴直线A₁B₁经过点B．
解：（1）∵A（2

3

，0），B（2

3

，2），
∴A₁B₁=AB=2，OA=OA₁=2

3

，
∴tan∠A₁OB₁=A₁B₁：OA₁=2：2

3

=1：

3

，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A₁B₁O中，B₁O=

OA12+A1B12

=4，
∴B₁的坐标为（0，4），
如图过A₁作A₁E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A₁E=3，OE=

3

，
∴A（

3

，3），
设直线A₁B₁的解析式为y=kx+b，
依题意得

4=b 3= 3 k+b

，
∴k=-

3

3

，b=4，
∴y=-

3

3

x+4．
而B（2

3

，2），
代入解析式中，左边=2，右边=-

3

3

×2

3

+4=2；
左边=右边，
∴直线A₁B₁经过点B．