试题

（2011·齐齐哈尔）已知直线y=

3

x+4

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．
（1）试确定直线BC的解析式．
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知得A点坐标（-4﹐0），B点坐标（0﹐4

3

﹚，
∵OB=

3

OA，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵OC=OA=4，
∴C点坐标﹙4，0﹚，
设直线BC解析式为y=kx﹢b，

b=4 3 4k+b=0

，
∴

k=- 3 b=4 3

，
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+4

3

；（2分）

﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP·QH=

1

2

t·

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=

1

2

t·﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t2+4

3

t﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，如图当Q与B重合时，四边形AMNQ为菱形，此时N坐标为（4，0）
其它类似还有（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．（4分）
解：（1）由已知得A点坐标（-4﹐0），B点坐标（0﹐4

3

﹚，
∵OB=

3

OA，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵OC=OA=4，
∴C点坐标﹙4，0﹚，
设直线BC解析式为y=kx﹢b，

b=4 3 4k+b=0

，
∴

k=- 3 b=4 3

，
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+4

3

；（2分）

﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP·QH=

1

2

t·

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=

1

2

t·﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t2+4

3

t﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，如图当Q与B重合时，四边形AMNQ为菱形，此时N坐标为（4，0）
其它类似还有（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

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）．（4分）