如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=frac{8sqrt{3}}{3}，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D．（1）求点G的坐标；...-青果题库-青果学院

题目：

（2011·玉溪）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=

8

3

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点，
∵OB=

8

3

，
∴G（

4

3

，0）．

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，OB=

8

3

，
∴cos30°=

AB

8

3

=

3

2

，

即AB=

8

3

×

3

2

=4，
又∵CD垂直平分AB，
∴BC=2，在Rt△CBH中，CH=

1

2

BC=1，BH=

3

，
∴OH=

8

3

-

3

=

5

3

，
∴C（

5

3

，-1），
∵∠DGO=60°，
∴OG=

1

2

OB=

4

3

，
∴OD=

4

3

tan60°=4，
∴D（0，4），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，则

-1=

5

3

k+b

4=b

，解得：

k=-

3

b=4

∴y=-

3

x+4；

（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形．
①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
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设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°，
∴OE=2，PE=2

3

，
∴Q（2，4-2

3

）．

②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°，
∴OF=2，PF=2

3

，
∴QF=4+2

3

∴Q（-2，4+2

3

）．

③如图，当PD=DQ=QO=OP=

4

3

时，四边形DOPQ为菱形，在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴MQ=

1

2

DQ=

2

3

∴Q（

2

3

，2）．

④如图，当OD=OQ=QP=DP=4时，四边形DOQP为菱形，
设PQ交x轴于点N，此时∠NOQ=∠ODQ=30°，
在Rt△ONQ中，NQ=

1

2

OQ=2，

∴ON=2

3

，
∴Q（2

3

，-2）；
综上所述，满足条件的点Q共有四点：（2，4-2

3

），（-2，4+2

3

），（

2

3

，2），（2

3

，-2）；
解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点，
∵OB=

8

3