试题

（2012·鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，
∵

AO=AD AG=AG

，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=

3

，则G点坐标为：（

3

，0），
CG=3-

3

，在Rt△PCG中，
PC=

CG

tan30°

=

3- 3

3 3

=3

3

-3，则P点坐标为：（3，3

3

-3），
设直线PE的解析式为y=kx+b，
则

3 k+b=0 3k+b=3 3 -3

，解得

k= 3 b=-3

，
所以，直线PE的解析式为y=

3

x-3．
（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，
∵

AO=AD AG=AG

，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=

3

，则G点坐标为：（

3

，0），
CG=3-

3

，在Rt△PCG中，
PC=

CG

tan30°

=

3- 3

3 3

=3

3

-3，则P点坐标为：（3，3

3

-3），
设直线PE的解析式为y=kx+b，
则

3 k+b=0 3k+b=3 3 -3

，解得

k= 3 b=-3

，
所以，直线PE的解析式为y=

3

x-3．