试题

已知两条直线y=

n

n+1

x+

2

n+1

和y=-

n

n+1

x+

2

n+1

（n为正整数），设它们与x轴围成的图形面积为S_n（n=1，2，…，2010），求S₁+S₂+…+S₂₀₁₀的值．

解：令x=0，由直线y=

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=-

2

n

，
所以该直线与x轴的交点坐标为（-

2

n

，0），与y轴的交点坐标为（0，

2

n+1

）；
令x=0，由直线y=-

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=

2

n

，
所以该直线与x轴的交点坐标为（

2

n

，0），与y轴的交点坐标为（0，

2

n+1

），
根据题意画出图形，如图所示：

由图形可知：△ABC的面积为两直线与x轴围成图形的面积S_n，
所以S_n=S_△ABC=

1

2

|BC|·|OA|=

1

2

×

2 2

n

×

2

n+1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
则S₁+S₂+…+S₂₀₁₀=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

）=2（1-

1

2011

）=

4020

2011

．
解：令x=0，由直线y=

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=-

2

n

，
所以该直线与x轴的交点坐标为（-

2

n

，0），与y轴的交点坐标为（0，

2

n+1

）；
令x=0，由直线y=-

n

n+1

x+

2

n+1

，解得y=

2

n+1

，令y=0，解得x=

2

n

，
所以该直线与x轴的交点坐标为（

2

n

，0），与y轴的交点坐标为（0，

2

n+1

），
根据题意画出图形，如图所示：

由图形可知：△ABC的面积为两直线与x轴围成图形的面积S_n，
所以S_n=S_△ABC=

1

2

|BC|·|OA|=

1

2

×

2 2

n

×

2

n+1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
则S₁+S₂+…+S₂₀₁₀=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

）=2（1-

1

2011

）=

4020

2011

．