试题

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），点B（8，0），点E（4，0）
（1）求AB的长；
（2）过点E作x轴的垂线交AB于点P，过点P作y轴垂线于点F，求点P的坐标；
（3）动点M从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在直线BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点M，Q移动的时间为t秒，当t为何时，△AMQ与△AOB相似？

解：（1）∵A（0，6），点B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=

62+82

=10；

（2）将点A（0，6），点B（8，0），代入y=kx+b，
则

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
则直线AB的解析式为：y=-

3

4

x+6，
∵点E（4，0），过点E作x轴的垂线交AB于点P，过点P作y轴垂线于点F，
∴P点横坐标为：4，
∴P点纵坐标为：y=-

3

4

×4+6=3，
∴点P的坐标为：（4，3）；

（3）如图1，当M与O对应，则△AMQ∽△AOB，
∴

AM

AO

=

AQ

AB

，
∵动点M从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，
同时动点Q从点B开始在直线BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，
∴AM=t，AQ=10-2t，
∴

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
如图2，当M与B对应，则△AMQ∽△ABO，
∴

AM

AB

=

AQ

AO

，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
综上所述：当t=

30

11

秒或

50

13

秒时，△AMQ与△AOB相似．
解：（1）∵A（0，6），点B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=

62+82

=10；

（2）将点A（0，6），点B（8，0），代入y=kx+b，
则

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
则直线AB的解析式为：y=-

3

4

x+6，
∵点E（4，0），过点E作x轴的垂线交AB于点P，过点P作y轴垂线于点F，
∴P点横坐标为：4，
∴P点纵坐标为：y=-

3

4

×4+6=3，
∴点P的坐标为：（4，3）；

（3）如图1，当M与O对应，则△AMQ∽△AOB，
∴

AM

AO

=

AQ

AB

，
∵动点M从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，
同时动点Q从点B开始在直线BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，
∴AM=t，AQ=10-2t，
∴

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
如图2，当M与B对应，则△AMQ∽△ABO，
∴

AM

AB

=

AQ

AO

，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
综上所述：当t=

30

11

秒或

50

13

秒时，△AMQ与△AOB相似．