如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=frac{1}{2}x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．（1）求M，N的坐标．（2）矩形ABCD中，已-青果题库-青果学院

题目：

（2012·宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l₁：y=

1

2

x与直线l₂：y=-x+6相交于点M，青果学院

直线l₂与x轴相交于点N．
（1）求M，N的坐标．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．

答案

解：（1）解方程组

y=

1

2

x

y=-x+6

，
解得：

x=4

y=2

，
则M的坐标是：（4，2）．
在解析式y=-x+6中，令y=0，解得：x=6，则N的坐标是：（6，0）．

（2）当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t，则高是

1

2

t，则面积是

1

2

×t·

1

2

t=

1

4

t²；
当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：

1

2

t，上底是：

1

2

（t-1），根据梯形的面积公式可以得到：S=

1

2

[

1

2

t+

1

2

（t-1）]=

1

2

（t-

1

2

）；
当4＜t≤5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：-t+6和

1

2

（t-1），根据梯形的面积公式即可求得
S=-

3

4

t²+

13

2

t-

49

4

；
当5＜t≤6时，重合部分是直角梯形，与当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S=

1

2

（13-2t）；
当6＜t≤7时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得S=

1

2

（7-t）²．

则：S=

1

4

t2(0≤t≤1)

1

2

(t-

1

2

)(1＜t≤4)

-

3

4

t2+

13

2

t-

49

4

(4＜t≤5)

1

2

(13-2t)(5＜t≤6)

1

2

(7-t)2(6＜t≤7)

；

（3）在0≤t≤1时，函数值y随t的增大而增大，则当t=1时，取得最大值是：

1

4

；
当1＜t≤4，函数值y随t的增大而增大，则当t=4时，取得最大值是：

1

2

（4-

1

2

）=

7

4

；
当4＜t≤5时，是二次函数，对称轴t=

13

3

，则最大值是：-

3

4

×（

13

3

）²+

13

2

×

13

3

-

49

4

=

11

6

；
当5＜t≤6时，函数值y随t的增大而减小，无最大值；
同理，当6＜t≤7时，y随t的增大而减小，无最大值．
总之，函数的最大值是：

11

6

．
解：（1）解方程组

y=

1

2

x