试题

（2013·大连）如图，一次函数y=-

4

3

x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，在射线CA上截取CD=CP，连接PD．设BP=t．
（1）t为何值时，点D恰好与点A重合？
（2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

解：（1）在一次函数解析式y=-

4

3

x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB·sin∠ABO=

3

5

t，BC=PB·cos∠ABO=

4

5

t，
∴CD=CP=

3

5

t．
若点D恰好与点A重合，则BC+CD=AB，即

4

5

t+

3

5

t=5，
解得：t=

25

7

，
∴当t=

25

7

时，点D恰好与点A重合．

（2）当点P与点O重合时，t=4；
当点C与点A重合时，由BC=BA，即

4

5

t=5，得t=

25

4

．
点P在射线BO上运动的过程中：
①当0＜t≤

25

7

时，如题图所示：
此时S=S_△PCD=

1

2

CP·CD=

1

2

·

3

5

t·

3

5

t=

9

50

t²；
②当

25

7

＜t≤4时，如答图1所示，设PC与x轴交于点E．

BD=BC+CD=

4

5

t+

3

5

t=

7

5

t，
过点D作DN⊥y轴于点N，则ND=BD·sin∠ABO=

7

5

t·

3

5

=

21

25

t，BN=BD·cos∠ABO=

7

5

t·

4

5

=

28

25

t．
∴PN=BN-BP=

28

25

t-t=

3

25

t，ON=BN-OB=

28

25

t-4．
∵ND∥x轴，
∴

OE

ND

=

OP

PN

，即

OE

21 25 t

=

4-t

3 25 t

，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S_△PCD-S_△ADE=

1

2

CP·CD-

1

2

AE·ON=

9

50

t²-

1

2

（7t-25）（

28

25

t-4）=-

187

50

t²+28t-50；
③当4＜t≤

25

4

时，如答图2所示，设PC与x轴交于点E．

AC=AB-BC=5-

4

5

t，
∵tan∠OAB=

OB

OA

=

4

3

，∴CE=AC·tan∠OAB=（5-

4

5

t）×

4

3

=

20

3

-

16

15

t．
故S=S_△ACE=

1

2

AC·CE=

1

2

（5-

4

5

t）·（

20

3

-

16

15

t）=

32

75

t²-

16

3

t+

50

3

；
④当t＞

25

4

时，无重合部分，故S=0．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

9 50 t2(0＜t≤ 25 7 ) - 187 50 t2+28t-50( 25 7 ＜t≤4) 32 75 t2- 16 3 t+ 50 3 (4＜t≤ 25 4 ) 0(t＞ 25 4 )

．
解：（1）在一次函数解析式y=-

4

3

x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB·sin∠ABO=

3

5

t，BC=PB·cos∠ABO=

4

5

t，
∴CD=CP=

3

5

t．
若点D恰好与点A重合，则BC+CD=AB，即

4

5

t+

3

5

t=5，
解得：t=

25

7

，
∴当t=

25

7

时，点D恰好与点A重合．

（2）当点P与点O重合时，t=4；
当点C与点A重合时，由BC=BA，即

4

5

t=5，得t=

25

4

．
点P在射线BO上运动的过程中：
①当0＜t≤

25

7

时，如题图所示：
此时S=S_△PCD=

1

2

CP·CD=

1

2

·

3

5

t·

3

5

t=

9

50

t²；
②当

25

7

＜t≤4时，如答图1所示，设PC与x轴交于点E．

BD=BC+CD=

4

5

t+

3

5

t=

7

5

t，
过点D作DN⊥y轴于点N，则ND=BD·sin∠ABO=

7

5

t·

3

5

=

21

25

t，BN=BD·cos∠ABO=

7

5

t·

4

5

=

28

25

t．
∴PN=BN-BP=

28

25

t-t=

3

25

t，ON=BN-OB=

28

25

t-4．
∵ND∥x轴，
∴

OE

ND

=

OP

PN

，即

OE

21 25 t

=

4-t

3 25 t

，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S_△PCD-S_△ADE=

1

2

CP·CD-

1

2

AE·ON=

9

50

t²-

1

2

（7t-25）（

28

25

t-4）=-

187

50

t²+28t-50；
③当4＜t≤

25

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时，如答图2所示，设PC与x轴交于点E．

AC=AB-BC=5-

4

5

t，
∵tan∠OAB=

OB

OA

=

4

3

，∴CE=AC·tan∠OAB=（5-

4

5

t）×

4

3

=

20

3

-

16

15

t．
故S=S_△ACE=

1

2

AC·CE=

1

2

（5-

4

5

t）·（

20

3

-

16

15

t）=

32

75

t²-

16

3

t+

50

3

；
④当t＞

25

4

时，无重合部分，故S=0．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

9 50 t2(0＜t≤ 25 7 ) - 187 50 t2+28t-50( 25 7 ＜t≤4) 32 75 t2- 16 3 t+ 50 3 (4＜t≤ 25 4 ) 0(t＞ 25 4 )

．