试题

题目：
青果学院已知：A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，点P和点Q分别是x轴和y轴上的两动点，当△PQM为等腰直角三角形时，则P点的坐标是
（
24
7
，0），（4，0），（-4+
41
，0），（-4-
41
，0）．
（
24
7
，0），（4，0），（-4+
41
，0），（-4-
41
，0）．
．
答案
（
24
7
，0），（4，0），（-4+
41
，0），（-4-
41
，0）．

青果学院解：∵A（8，0），B（0，6），M是AB的中点，
∴M的坐标是（4，3），
设P（x，0），Q（0，y），
当∠QMP=90°时（如图1所示），QM=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴QM2+MP2=OQ2+OP2，即42+（3-y）2+（x-4）2+32=x2+y2①，
∵QM=PM，
∴42+（3-y）2=（x-4）2+32②，
①②联立得
3y-4x=0
x2-y2-2y=0
，青果学院解得x=
24
7
或x=0（舍去），
∴P（
24
7
，0）；
当∠QPM=90°时（如图2所示），QP=PM，
∵△OPQ、△QPM均为直角三角形，
∴MP2=QP2=OQ2+OP2，即x2+y2=（x-4）2+32①，
MP2+QP2=QM2，即x2+y2+（x-4）2+32=42+（3-y）2，②，
①②联立得，
y2+8x-25=0
2x2-8x+6y=0
，解得x=3或x=0（舍去），
∴P（3，0）；
当∠PQM=90°时，如图3所示，青果学院QP=QM，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴QM2+QP2=PM2，QM=QP，
即42+（3-y）2+x2+y2=（4-x）2+32①，42+（3-y）2=x2+y2②，
①②联立得，
y2+8x-6y=0
x2+6y-25=0
，整理得，x2+8x-25=0，解得x=-4+
41
或x=-4-
41
，
∴P（-4+
41
，0）或（-4-
41
，0）
综上所述，P（
24
7
，0），（3，0），（-4+
41
，0），（-4-
41
，0）．
考点梳理
一次函数综合题．
先根据中点坐标公式求出M点的坐标，再设P（x，0），Q（0，y），由于哪个角是直角不能确定，故应分∠QMP=90°，∠QPM=90°，∠PQM=90°三种情况列出关于x、y的方程组，求出x的值即可．
本题考查的是一次函数综合题，熟知等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
分类讨论．
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