试题

如图，等腰梯形ABCD置于平面直角坐标系中，CD∥x轴，AB 在x轴上，AC平分∠DAB，直线AD的解析式为y=

4

3

x+4．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P分别从点A出发，沿AB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线，并交直线AC于点F，过F点作x轴的平行线交直线BC于点M，设点P运动时间为t秒，设线段FM的长度为y，求y与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，设△PFM的外接圆的圆心为K，连接FM、KM，当t为何值时，直线PM与KF所夹锐角正切值为

3

4

．

解：（1）由直线AD的解析式为y=

4

3

x+4可知
当x=0时，y=4，即点D坐标为（0，4）
当y=0时，x=-3，即点A的坐标为（-3，0）
故OA=3，OD=4
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
∵CD∥AB  AD=BC
∴∠DCA=∠BAC
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=CD=BC=5
过点C作CE⊥AB，交AB于点E，则
OE=CD=5  CE=OD=4
∴点C的坐标为（5，4）

（2）由（1）可知 AE=OA+OE=8
由题意可知 AP=2t
∵tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

∴PF=

1

2

AP=t
①当点P在点E的左侧时，PM交CE于点N
∵FM⊥PF    PF∥CE
∴FM⊥CE
∴NE=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN

CE

∴

y

11

=

4-t

4

即y=11-

11

4

t（0＜t＜4）

②当点P在点E右侧时，直线CE与MF交与点N′，则N′E=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN′

CE

∴

y

11

=

t-4

4

即y=

11

4

t-11（4＜t＜

11

2

）

（3）∵∠PFM=90°
∴FK=KM=KP
过点F作FG⊥PM于点G，则tan∠FKG=

3

4

，即FG：GK=3：4
在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5
∵在Rt△PFM中FG⊥PM
∴△FPG∽△MFG∽△MPF
①当0＜t＜

44

15

时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
∵FK=KM=KP
∴PG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

∴

t

11- 11 4 t

=

1

3

∴t=

44

23

②当

44

15

＜t＜4时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11- 11 4 t

=3
∴t=

132

37

③当4＜t＜

11

2

时，PF=t，FM=

11

4

t-11，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11 4 t-11

=3
∴t=

132

29

综上可知，当t1=

44

23

，t₂=

132

37

，t3=

132

29

时直线PM与KF所夹锐角正切值为

3

4

．
解：（1）由直线AD的解析式为y=

4

3

x+4可知
当x=0时，y=4，即点D坐标为（0，4）
当y=0时，x=-3，即点A的坐标为（-3，0）
故OA=3，OD=4
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
∵CD∥AB  AD=BC
∴∠DCA=∠BAC
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=CD=BC=5
过点C作CE⊥AB，交AB于点E，则
OE=CD=5  CE=OD=4
∴点C的坐标为（5，4）

（2）由（1）可知 AE=OA+OE=8
由题意可知 AP=2t
∵tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

∴PF=

1

2

AP=t
①当点P在点E的左侧时，PM交CE于点N
∵FM⊥PF    PF∥CE
∴FM⊥CE
∴NE=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN

CE

∴

y

11

=

4-t

4

即y=11-

11

4

t（0＜t＜4）

②当点P在点E右侧时，直线CE与MF交与点N′，则N′E=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN′

CE

∴

y

11

=

t-4

4

即y=

11

4

t-11（4＜t＜

11

2

）

（3）∵∠PFM=90°
∴FK=KM=KP
过点F作FG⊥PM于点G，则tan∠FKG=

3

4

，即FG：GK=3：4
在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5
∵在Rt△PFM中FG⊥PM
∴△FPG∽△MFG∽△MPF
①当0＜t＜

44

15

时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
∵FK=KM=KP
∴PG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

∴

t

11- 11 4 t

=

1

3

∴t=

44

23

②当

44

15

＜t＜4时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11- 11 4 t

=3
∴t=

132

37

③当4＜t＜

11

2

时，PF=t，FM=

11

4

t-11，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11 4 t-11

=3
∴t=

132

29

综上可知，当t1=

44

23

，t₂=

132

37

，t3=

132

29

时直线PM与KF所夹锐角正切值为

3

4

．