试题

题目：
点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为
（
5
3
，±
33
9
）
（
5
3
，±
33
9
）
．
答案
（
5
3
，±
33
9
）

青果学院解：∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，-1）．
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0），
则
1
2
|PA|·|PB|sin∠APB=
1
2
|PM|·|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴
|PA|
|PM|
=
|PN|
|PB|
，
∴
|x0+1|
|3-x0|
=
|3-x0|
|x0-1|
，即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=
5
3
．
∵点P在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上，
∴x02+3y02=4，
∴y0=±
33
9
，
∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（
5
3
，±
33
9
）．
故答案是：（
5
3
，±
33
9
）．
考点梳理
一次函数综合题．
设点P的坐标为（x0，y0），则根据函数图象上点的坐标特征知x02+3y02=4．首先，根据点A的坐标求得点B的坐标为（1，-1）；然后，利用三角形的面积公式S=
1
2
absinC列出等式
1
2
|PA|·|PB|sin∠APB=
1
2
|PM|·|PN|sin∠MPN．即
|PA|
|PM|
=
|PN|
|PB|
；再根据两点间的距离公式求得
|x0+1|
|3-x0|
=
|3-x0|
|x0-1|
，即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=
5
3
．易求y0的值．
本题考查了一次函数综合题．此题涉及到的知识点有关于x、y轴对称的点的坐标特征，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式等．解题时，注意利用“数形结合”的性质，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．
压轴题．
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