试题

（2011·邢台一模）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．点P从点A出发，以2单位长/秒的速度沿折线A-B-C运动，到达点C终止．已知点A（-3，4），设点P的运动时间为t（秒），△PMB的面积为S（平方单位）．
（1）求点C和点B的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）求S的最大值．

解：（1）∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO=

AH2+OH2

=5，
∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0）．

（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：

4=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

∴直线AC的解析式为 y=-

1

2

x+

5

2

，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5）．

（3）过M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=

3

2

，
S=

1

2

×BP×MH=

1

2

×（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

，
∴S=-

3

2

t+

15

4

，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=

1

2

×PB×MN=

1

2

×（2t-5）×

5

2

=

5

2

t-

25

4

，
∴S=

5

2

t-

25

4

，
答：S与t的函数关系式是 S=--

3

2

t+

15

4

（0≤t＜2.5）或 S=

5

2

t-

25

4

（2.5＜t≤5）．

（4）当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是

1

2

×5×

3

2

=

15

4

，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是

1

2

×5×

5

2

=

25

4

，
∴S的最大值是

25

4

，
答：S的最大值是

25

4

．
解：（1）∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO=

AH2+OH2

=5，
∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0）．

（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：

4=-3k+b 0=5k+b

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

∴直线AC的解析式为 y=-

1

2

x+

5

2

，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5）．

（3）过M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=

3

2

，
S=

1

2

×BP×MH=

1

2

×（5-2t）×

3

2

=-

3

2

t+

15

4

，
∴S=-

3

2

t+

15

4

，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=

1

2

×PB×MN=

1

2

×（2t-5）×

5

2

=

5

2

t-

25

4

，
∴S=

5

2

t-

25

4

，
答：S与t的函数关系式是 S=--

3

2

t+

15

4

（0≤t＜2.5）或 S=

5

2

t-

25

4

（2.5＜t≤5）．

（4）当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是

1

2

×5×

3

2

=

15

4

，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是

1

2

×5×

5

2

=

25

4

，
∴S的最大值是

25

4

，
答：S的最大值是

25

4

．