试题

（2012·威海）（1）如图①，·ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将·ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A₁处，点B落在点B₁处，设FB₁交CD于点G，A₁B₁分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI=FG．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE与△CGF中，

∠A1=∠C ∠5=∠6 A1E=CF

，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE与△CGF中，

∠A1=∠C ∠5=∠6 A1E=CF

，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．