试题

题目：
青果学院如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，若AC=4，则：①△CDE的周长比△CDA的周长小4，②∠ACD=90°；③AE=ED=CE；④四边形ABCD面积是12．则上述结论正确的是（　　）



答案
D
解：∵CD=AB=3，AD=BC=5，AC=4，
∴CD2+AC2=AD2，
∴∠ACD=90°，
故②正确．
∵∠ACD=90°，
∴四边形ABCD面积为CD×AC=3×4=12．
故④正确．
∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=CE，
又∵∠ACD=90°，
∴AE=CE=DE=2.5，
故③正确．
∵AE=CE=DE=2.5，CD=3，AC=4，AD=5，
∴△CDE的周长比△CDA的周长小4，
故①正确．
故选D．
考点梳理
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
根据平行四边形的性质AB=CD=3，AD=BC=5，又因为AC=4，根据勾股定理，∠ACD=90°，四边形ABCD面积为CD×AC=3×4=12，AC的垂直平分线交AD于E，所以AE=CE，（因为垂直平分线上的点到两边的距离相等），又∠ACD=90°所以CE=AE=CD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即AE=DE=CE=2.5，所以△CDE的周长比△CDA的周长小4
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，关键是熟练掌握这些性质．
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