试题

在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
（1）AC与EF互相平分吗？试说明理由．
（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF的周长和面积．

解：（1）AC，EF互相平分．
证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA
又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．
∴∠BAE=∠DAE=

1

2

∠BAD，
∠BCF=∠DCF=

1

2

∠BCD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF
又∵∠DAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BCF∴AE∥CF
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC，EF互相平分；

（2）∵∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，又∠B=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=4，
又BE=2CE，
∴CE=2，
∴平行四边形AECF周长为：（2+4）×2=12，
过点A作AH⊥BE于H，则BH=

1

2

BE=2，
∴AH=

AB2-BH2

=

42-22

=

12

=2

3

，
∴S_{平行四边形AECF}=CE·AH=2×2

3

=4

3

．
解：（1）AC，EF互相平分．
证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA
又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．
∴∠BAE=∠DAE=

1

2

∠BAD，
∠BCF=∠DCF=

1

2

∠BCD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF
又∵∠DAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BCF∴AE∥CF
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC，EF互相平分；

（2）∵∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，又∠B=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=4，
又BE=2CE，
∴CE=2，
∴平行四边形AECF周长为：（2+4）×2=12，
过点A作AH⊥BE于H，则BH=

1

2

BE=2，
∴AH=

AB2-BH2

=

42-22

=

12

=2

3

，
∴S_{平行四边形AECF}=CE·AH=2×2

3

=4

3

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