试题

题目：
青果学院（2010·西城区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4，
求BC的长．
答案
青果学院解：分别过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
∵∠B=45°，∠BAC=105°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30°，
在Rt△CDF中，∠DCF=∠DCA+∠ACB=60°，CD=4，
∴DF=2
3
，AE=DF=2
3
，
∴在Rt△ABE中，∠B=45°，BE=AE=2
3
，
同理，在Rt△ACE中，CE=
3
AE=6，
∴BC=BE+CE=6+2
3
．
青果学院解：分别过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，
∵∠B=45°，∠BAC=105°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30°，
在Rt△CDF中，∠DCF=∠DCA+∠ACB=60°，CD=4，
∴DF=2
3
，AE=DF=2
3
，
∴在Rt△ABE中，∠B=45°，BE=AE=2
3
，
同理，在Rt△ACE中，CE=
3
AE=6，
∴BC=BE+CE=6+2
3
．
考点梳理
梯形．
过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，将梯形分为两个直角三角形和一个矩形；在△ABC中，根据内角和定理求∠ACB，根据AD∥BC，AD=CD，可求，∠DCF=∠DCA+∠ACB=60°，在Rt△CDF中求DF，利用AE=DF“过渡”解Rt△ABE、Rt△ACE，分别求BE、CE，从而可得BC．
本题考查了梯形作辅助线的方法，梯形的性质运用，解特殊直角三角形的知识．
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