试题

（2011·泉州质检）如图，AB=AC=10cm，BC=12cm，BF∥AC，点P、Q均以1cm/s的速度同时分别从C、A出发沿CA，AB的方向运动（当P到达A点时，点P、Q均停止运动），过点P作PE∥BC，分别交AB、BF于点G、E，设运动时间为ts．
（1）直接判断并填写：
经过t秒，线段AP=cm（用含t的代数式表示），线段QEQP（用“＞、＜、=、≥、≤”符号表示）；
（2）四边形EBPA的面积会变化吗？请说明理由：
（3）①当0＜t＜5时，求出四边形EBPA的面积S与t的函数关系式；
②试探究：当t为何值时，四边形EBPQ是梯形．

解：（1）PA的长度为：10-t，
QE=PQ．

（2）四边形EBPA的面积不会变化．
∵BF∥AC，
∴BF与AC的距离处处相等．
设EF与AC的距离为h，
又∵PE∥BC，
∴四边形EBCP是平行四边形．
∴EB=PC=t，AP=10-t，
∴S_{四边形EBPA}=

1

2

（EB+AP）h=

1

2

（t+10-t）·h=5h；

（3）①AQ=t，则BQ=10-t，
又∵AP=10-t，EB=t，
∴EB=AQ，BQ=AP，
又∵BF∥AC，
∴∠EBA=∠QAP，
∴△EBQ≌△QAP，
在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，作AH⊥BC于H，
则CH=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
AH=

AC2-CH2

=

102-62

=8，
作BM⊥AC于点M，
∵S_△ABC=

1

2

·BC·AH=

1

2

·AC·BM，
∴12×8=10·BM
BM=

48

5

，
∴S_△ABP=

1

2

（10-t）×

48

5

，
即S=48-

24

5

t．

②∵BF∥AC，∴BE不平行于PQ，
∴当EQ∥BP时，四边形EBPQ是梯形．
∴∠GEQ=∠GPB，∠EQB=∠GBP，
∴△EGQ∽△PGB，
∴

EG

GP

=

GQ

GB

，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵PG∥BC，且PG≠BC，
∴四边形GBCP是等腰梯形，
∴GB=PC=t，
∴GQ=10-2t，
同理可证△AGP∽△EGB，
∴

EB

PA

=

EG

GP

∴

EB

PA

=

QG

GB

，
∴

t

10-t

=

10-2t

t

，
化简得：t²-30t+100=0，
解得：t₁=15+5

5

（舍去），t₂=15-5

5

，
当t=15-5

5

是，四边形EBPQ是梯形．