试题

题目：
（2012·南关区模拟）思考与推理
如图①，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，连接AM，请思考并判断AE与EF、∠1与∠2具有怎样的数量关系？并推理说明你的判断
探究与应用
如图②，在梯形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，过点E作EM⊥AE交BC于点M，连接AM．若∠EMC=70°，则∠DAE=
20
20
°．
青果学院
答案
20

解：思考与推理：
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
∠3=∠4
DE=CE
∠D=∠ECF=90°
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，∠2=∠F，青果学院
∵EM⊥AF，
∴AM=MF，
∴∠1=∠F，
∴∠1=∠2；

探究与应用：∵∠EMC=70°，
∴∠AME=∠EMC=70°，
∵EM⊥AE，
∴∠EAM=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠EAM=20°．
故答案为：20．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；梯形．
思考与推理：根据中点定义可得DE=CE，然后利用“角边角”证明△ADE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=EF，全等三角形对角相等可得∠2=∠F，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=MF，根据等边对等角可得∠1=∠F，从而求出∠1=∠2；
探究与应用：先求出∠AME=∠EMC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠EAM，然后根据∠DAE=∠EAM即可得解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，比较简单，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
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