试题

（2012·重庆模拟）已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点
（1）求证：FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

（1）证明：连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵

AD=BC ∠DAF=∠CBF AF=BF

∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；

（2）解：∵AC=CE，∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴∠BAC=30°，
∴BC=BE=

1

2

CE=4
∴根据勾股定理AB=4

3

∴梯形AECD的面积=

1

2

×(AD+CE)×CD=

1

2

×(4+8)×4

3

=24

3

．
（1）证明：连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵

AD=BC ∠DAF=∠CBF AF=BF

∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；

（2）解：∵AC=CE，∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴∠BAC=30°，
∴BC=BE=

1

2

CE=4
∴根据勾股定理AB=4

3

∴梯形AECD的面积=

1

2

×(AD+CE)×CD=

1

2

×(4+8)×4

3

=24

3

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