试题

（2013·闵行区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD=

2

AB，求证：四边形DGEC是正方形．

证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BG=CG=

1

2

BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；

（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=

2

AB，即得CG=

2

DC=

2

DG，
∴DG²+DC²=CG²，
∴∠GDC=90°，
∴四边形DGEC是正方形．
证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BG=CG=

1

2

BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；

（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=

2

AB，即得CG=

2

DC=

2

DG，
∴DG²+DC²=CG²，
∴∠GDC=90°，
∴四边形DGEC是正方形．